Tính chất của tứ diện đều lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Tính chất của tứ diện đều lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính chất của tứ diện đều.

Tính chất của tứ diện đều lớp 11 (chi tiết nhất)

1. Tính chất của tứ diện đều

Tứ diện đều có các tính chất:

+ Bốn mặt xung quanh là các tam giác đều bằng nhau.

+ Các mặt của tứ diện đều là những tam giác có ba góc đều bằng 60^o.

+ Tổng các góc tại một đỉnh bất kì của tứ diện đều bằng 180^o.

+ Hai cặp cạnh đối diện trong một tứ diện đều có độ dài bằng nhau.

+ Bốn đường cao của tứ diện đều có độ dài bằng nhau.

+ Tâm của mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp tứ diện đều trùng với tâm của tứ diện đều.

+ Các góc phẳng nhị diện ứng với mỗi cặp cạnh đối diện của tứ diện bằng nhau.

+ Đường thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện là một đường thẳng vuông góc với cả hai cạnh đó.

+ Tổng các cos của các góc phẳng nhị diện chứa cùng một mặt của tứ diện bằng 1.

2. Ví dụ minh họa về tính chất của tứ diện đều

Ví dụ 1. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

a) Các mặt của tứ diện đều là những tam giác có các góc bằng 60^o.

b) Tổng các góc tại một đỉnh bất kì của tứ giác đều bằng 360^o.

c) Một tứ diện đều có bốn đường cao bằng nhau.

d) Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều trùng với tâm của tứ diện đó.

Hướng dẫn giải

Ý b) sai vì tổng các góc tại một đỉnh bất kì của tứ diện đều bằng 180^o.

Ví dụ 2. Cho hình tứ diện đều ABCD. Gọi E là trung điểm của CB. Chứng minh rằng $\widehat{ADE}=\widehat{DAE}$.

Hướng dẫn giải

Vì ABCD là tứ diện đều nên các tam giác ABC và DBC là các tam giác đều bằng nhau.

Vì E là trung điểm của BC và các tam giác ABC và DBC là các tam giác đều nên AE và DE lần lượt là các đường cao trong tam giác ABC và DBC.

Do đó, AE = DE. Do đó, tam giác ADE cân tại E. Suy ra $\widehat{ADE}=\widehat{DAE}$.

Ví dụ 3. Cho tứ diện đều ABCD, gọi H, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD và ACB. Chứng minh rằng AH = DK.

Hướng dẫn giải

Vì ABCD là tứ diện đều nên các tam giác BCD, ABC là các tam giác đều.

Vì H, K lần lượt là trọng tâm của tam giác đều BCD, ABC nên H, K lần lượt là tâm của các tam giác đó. Do đó, DK và AH là các đường cao của tứ diện đều ABCD. Suy ra: AH = DK.

3. Bài tập về tính chất của tứ diện đều

Bài 1. Cho tứ diện đều ABCD.

Chọn các khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

a) Tam giác ABC là tam giác vuông cân.

b) Các góc đỉnh A của các tam giác ABC, ACD, ABD bằng nhau.

c) Tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện đều ABCD trùng với tâm của tam giác BCD.

d) Đường thẳng nối trung điểm của AB và CD vuông góc với cả hai cạnh đó.

Bài 2. Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N, P, Q là trung điểm của AB, BC, CD, AD. Gọi G là trọng tâm của tứ diện và I là trực tâm của tam giác BCD.

Trong các khẳng định sau, có bao nhiêu khẳng định đúng?

a) G là tâm đường tròn nộp tiếp tứ diện ABCD.

b) G là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ diện ABCD.

c) G là giao điểm của MP và NQ.

d) Ba điểm A, G, I thẳng hàng.

Bài 3. Cho hình tứ diện đều MNPQ. Gọi A, B lần lượt là trung điểm của MN và PQ. Tính góc giữa hai đường thẳng MN và AB; MN và PQ.

Bài 4. Cho tứ diện đều ABCD. Gọi T, N lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và ACD. Gọi K là giao điểm của DT và BN. Tính tỉ số $\frac{KT}{BN}$.

Bài 5. Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, AD.

a) Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?

b) Đường thẳng MO có vuông góc với các đường thẳng CD và NQ không? Vì sao?

Xem thêm các dạng bài tập Toán sách mới hay, chi tiết khác:

• Bất đẳng thức Cô-si lớp 9

• Bất đẳng thức Bunhiacopxki lớp 9

• Đạo hàm hàm phân thức lớp 11

• Đường chéo hình chữ nhật lớp 8

• Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức lớp 8

---