Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 Đồng dư thức (có lời giải)

Bài viết Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 Đồng dư thức với bài tập tự luận, câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, câu hỏi trả lời ngắn có lời giải chi tiết giúp Giáo viên có thêm tài liệu giảng dạy Toán 7.

Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 Đồng dư thức (có lời giải)

Xem thử

Chỉ từ 250k mua trọn Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1133836868 - CT TNHH DAU TU VA DV GD VIETJACK - Ngân hàng MB (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

Dạng 1. SỬ DỤNG ĐỒNG DƯ THỨC CHỨNG MINH CHIA HẾT

Câu 1.     (HSG 7 huyện Hoàng Hoá  2022 - 2023; Cẩm Thụy 2022 - 2023)   

Cho $a, b, c, d\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ thỏa mãn $a^3+b^3=2\left(c^3-8d^3\right)$. Chứng minh $\left(a+b+c+d\right)⋮3$ .  

Lời giải

Ta có: $a^3+b^3=2\left(c^3-8d^3\right)$.

$\iff a^3+b^3+c^3+d^3=3c^3-15d^3$

Mà $\left(3c^3-15d^3\right)⋮3$ nên $\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)⋮3$.     (1)

Dư trong phép chia a cho 3 là 0; 1; -1.

Suy ra dư trong phép chia $a^3$ cho 3 cũng lần lượt là0; 1; -1.

Như vậy: $a\equiv a^3 \left(mod 3\right)$ .

Tương tự ta có: $b\equiv b^3 \left(mod 3\right), c\equiv c^3 \left(mod 3\right), d\equiv d^3 \left(mod 3\right)$ .

Suy ra: $a+b+c+d\equiv a^3+b^3+c^3+d^3 \left(mod 3\right)$.    (2)

Từ (1) và (2) suy ra $a+b+c+d$ chia hết cho 3.

Câu 2.     (HSG 7 huyện Yên Phong, tỉnh Bắc Ninh 2022 - 2023)            

Chứng minh rằng: $\left(4^{2n+2}-1\right)⋮15$ với mọi số tự nhiên n.

Lời giải

Ta có:  $$\begin{gathered} 4\equiv -1 \left(mod 5\right) \\ \Rightarrow 4^{2\left(n+1\right)}\equiv {\left(-1\right)}^{2\left(n+1\right)} \left(mod 5\right) \\ \Rightarrow 4^{2\left(n+1\right)}\equiv 1 \left(mod 5\right) \\ \Rightarrow \left(4^{2\left(n+1\right)}-1\right)\equiv 0 \left(mod 5\right) \\ \Rightarrow \left(4^{2\left(n+1\right)}-1\right)⋮5 \end{gathered}$$

  $\Rightarrow \left(4^{2\left(n+1\right)}-1\right)⋮5$ (1)

Lại có:$4\equiv 1 \left(mod 3\right)$

$$\begin{gathered} \Rightarrow 4^{2\left(n+1\right)}\equiv 1^{2\left(n+1\right)} \left(mod 3\right) \\ \Rightarrow \left(4^{2\left(n+1\right)}-1\right)\equiv 0 \left(mod 3\right) \end{gathered}$$

$\Rightarrow \left(4^{2\left(n+1\right)}-1\right)⋮3$.                                      (2)

 Lại có: 3 và 5 là hai số nguyên tố cùng nhau.                              (3)

Từ (1) và  (2) và (3) $\Rightarrow \left(4^{2n+2}-1\right)⋮15$ .

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm các Chuyên đề bài tập bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán 7 có đáp án hay khác:

• Chuyên đề: Thực hiện phép tính
• Chuyên đề: Tìm ẩn chưa biết
• Chuyên đề: Lũy thừa với số mũ tự nhiên
• Chuyên đề: Chứng minh chia hết và tìm chữ số tận cùng
• Chuyên đề: Số nguyên tố và hợp số
• Chuyên đề: Các bài toán về số chính phương
• Chuyên đề: Đa thức
• Chuyên đề: Biểu đồ và xác suất
• Chuyên đề: Các dạng toán về phân số
• Chuyên đề: Tỷ lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau
• Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN, GTNN
• Chuyên đề: Nguyên lý Dirichlet
• Chuyên đề: Hình học

Lời giải bài tập lớp 7 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 7 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 7 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 7 Cánh diều

---