Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 Các bài toán về số chính phương (có lời giải)

Bài viết Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 Các bài toán về số chính phương với bài tập tự luận, câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, câu hỏi trả lời ngắn có lời giải chi tiết giúp Giáo viên có thêm tài liệu giảng dạy Toán 7.

Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 Các bài toán về số chính phương (có lời giải)

Xem thử

Chỉ từ 250k mua trọn Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1133836868 - CT TNHH DAU TU VA DV GD VIETJACK - Ngân hàng MB (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

Dạng 1: Chứng minh một số (một tổng) là số chính phương

Câu 1.(HSG 7 huyện Hậu Lộc 2022 - 2023)

Cho a, b, c, d là các số nguyên thỏa mãn $a^2=b^2+c^2+d^2$. Chứng minh rằng: v$abcd+2023$ viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương.

Lời giải

Cách 1:

Ta có: ${\left(2m+1\right)}^2=4m^2+4m+1=4m\left(m+1\right)+1$.

Do đó ta có ${\left(2m+1\right)}^2$ là số chính phương lẻ chia $8$luôn dư $1$.

Nếu a,b,c,d đều lẻ thì  $a^2,b^2,c^2,d^2$ chia 8 đều dư 1 dẫn đến không xảy ra $a^2=b^2+c^2+d^2$(vì vế trái chia 8 dư 1, vế phải chia 8 dư 3)

Vậy trong các số a, b, c, d phải có ít nhất một số chẵn nên abcd chẵn $\Rightarrow abcd+2023$ lẻ.

Đặt $abcd+2023=2k+1\left(k\in \mathbb{Z}\right)={\left(k+1\right)}^2-k^2$

Cách 2:

$a^2-b^2=c^2+d^2\Rightarrow \left(a-b\right)\left(a+b\right)=c^2+d^2$

Giả sử cả bốn số a, b, c, d đều lẻ thì $\left(a-b\right),\left(a+b\right)$chẵn $\Rightarrow \left(a-b\right)\left(a+b\right)⋮4$$\Rightarrow \left(c^2+d^2\right)⋮4$

mà $c^2,d^2$là các số chính phương lẻ khi chia cho 4dư 1nên $\Rightarrow \left(c^2+d^2\right)⋮4$ dư $2$ ( mâu thuẫn). Điều giả sử sai.

Suy ra ít nhất một trong bốn số có một số chẵn $\Rightarrow abcd$chẵn $\Rightarrow abcd+2023$ lẻ.

Ta có: $$\begin{gathered} abcd+2023=\frac{abcd}{2}+\frac{abcd}{2}+1011+1012=\left(\frac{abcd}{2}+1012\right)+\left(\frac{abcd}{2}+1011\right) \\ =\left[\left(\frac{abcd}{2}+1012\right)+\left(\frac{abcd}{2}+1011\right)\right]\times 1 \\ =\left[\left(\frac{abcd}{2}+1012\right)+\left(\frac{abcd}{2}+1011\right)\right]\times \left[\left(\frac{abcd}{2}+1012\right)-\left(\frac{abcd}{2}+1011\right)\right] \\ ={\left(\frac{abcd}{2}+1012\right)}^2-{\left(\frac{abcd}{2}+1011\right)}^2 \end{gathered}$$

mà $abcd$ chẵn nên $abcd⋮2$ hay $\frac{abcd}{2}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\Rightarrow {\left(\frac{abcd}{2}+1012\right)}^2;{\left(\frac{abcd}{2}+1011\right)}^2$là các số chính phương.

Vậy $abcd+2023$ viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương.

Câu 2.(HSG 7 thị xã Nghị Sơn 2022 - 2023)

Cho n là số tự nhiên có hai chữ số, Tìm n biết $n+4$ và $2n$ đều là các số chính phương.

Lời giải

Nhận xét: Số chính phương không thể tận cùng là 2; 3; 7; 8

Vì 2n là số chính phương nên chẵn tận cùng là

· Nếu n tận cùng là 4;8 thì $n+4$ không phải là số chính phương.

· Nếu n tận cùng là 6 thì 2n không phải là số chính phương.

Do đó n chỉ có thể tận cùng là 0 hoặc 2 $\Rightarrow n+4$ chỉ có thể tận cùng là 4 hoặc 6. 

Vì n là số có hai chữ số nên $14\le n+4<104$. Mà $n+4$ là số chính phương tận cùng là 4 hoặc 6 nên 

· Nếu $n+4=16\Rightarrow n=12$ khi đó $2n=24$ (không thỏa mãn)

· Nếu $n+4=36\Rightarrow n=32$ khi đó $2n=64$ thỏa mãn)

· Nếu $n+4=16\Rightarrow n=12$ khi đó $2n=120$ (không thỏa mãn)

Vậy $n=32$

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm các Chuyên đề bài tập bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán 7 có đáp án hay khác:

• Chuyên đề: Thực hiện phép tính
• Chuyên đề: Tìm ẩn chưa biết
• Chuyên đề: Lũy thừa với số mũ tự nhiên
• Chuyên đề: Chứng minh chia hết và tìm chữ số tận cùng
• Chuyên đề: Số nguyên tố và hợp số
• Chuyên đề: Đa thức
• Chuyên đề: Biểu đồ và xác suất
• Chuyên đề: Các dạng toán về phân số
• Chuyên đề: Tỷ lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau
• Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN, GTNN
• Chuyên đề: Đồng dư thức
• Chuyên đề: Nguyên lý Dirichlet
• Chuyên đề: Hình học

Lời giải bài tập lớp 7 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 7 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 7 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 7 Cánh diều

---