Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 Nguyên lý Dirichlet (có lời giải)

Bài viết Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 Nguyên lý Dirichlet với bài tập tự luận, câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, câu hỏi trả lời ngắn có lời giải chi tiết giúp Giáo viên có thêm tài liệu giảng dạy Toán 7.

Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 Nguyên lý Dirichlet (có lời giải)

Xem thử

Chỉ từ 250k mua trọn Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1133836868 - CT TNHH DAU TU VA DV GD VIETJACK - Ngân hàng MB (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

Dạng 1. Sử dụng trong bài toán chia hết

Câu 1.     (HSG 7 TRƯỜNG THCS VÕ THỊ SÁU 2022 - 2023)     

Chứng minh rằng nếu $2^n-1$ là số nguyên tố $\left(n>2\right)$ thì $2^n+1$  là hợp số.

Lời giải

Ta có:$2^n-1$ ;$2^n$ ;$2^n+1$ là ba số tự nhiên liên tiếp theo Dirichlet có một trong ba số sẽ chia hết cho 3

Mà $2^n-1$ là số nguyên tố $\left(n>2\right)$ nên $2^n-1$  không chia hết cho 3.

Mặt khác: với $n>2$  thì $2^n$ không là bội của 3, nên $2^n$ không chia hết cho 3.

Suy ra: $2^n+1$ chia hết cho 3 và $2^n+1>3$ với mọi $n>2$ .

Vậy $2^n+1$ là hợp số (đpcm).

Câu 2.     (HSG 7 LIÊN TRƯỜNG 2022 - 2023)

Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên gồm toàn chữ số 1 chia hết cho 2007.

Lời giải

Xét 2008 số sau: $1; 11; 111;...;\underset{2008}{\underbrace{111...11}}$   

Theo Dirichle tồn tại ít nhất 2 số chia cho 2007 có cùng số dư

Giả sử hai số đó là

$$\begin{gathered} A=\underset{n}{\underbrace{111...11}} \\ B=\underset{k}{\underbrace{111.11}}\left(n>k\right) \\ \Rightarrow A-B=\underset{n}{\underbrace{111...11}}-\underset{k}{\underbrace{111...11}}={10}^k\times \underset{n-k}{\underbrace{111...11}}⋮2007 \end{gathered}$$

Mà $\left({10}^k; 2007\right)=1\Rightarrow \underset{n-k}{\underbrace{111...11⋮2007}}$

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm các Chuyên đề bài tập bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán 7 có đáp án hay khác:

• Chuyên đề: Thực hiện phép tính
• Chuyên đề: Tìm ẩn chưa biết
• Chuyên đề: Lũy thừa với số mũ tự nhiên
• Chuyên đề: Chứng minh chia hết và tìm chữ số tận cùng
• Chuyên đề: Số nguyên tố và hợp số
• Chuyên đề: Các bài toán về số chính phương
• Chuyên đề: Đa thức
• Chuyên đề: Biểu đồ và xác suất
• Chuyên đề: Các dạng toán về phân số
• Chuyên đề: Tỷ lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau
• Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN, GTNN
• Chuyên đề: Đồng dư thức
• Chuyên đề: Hình học

Lời giải bài tập lớp 7 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 7 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 7 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 7 Cánh diều

---