Người ta muốn dựng một cột ăng – ten trên một sườn đồi. Ăng – ten được dựng thẳng đứng trong không gian Oxyz

Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian

Bài 7 trang 55 SBT Toán 12 Tập 2: Người ta muốn dựng một cột ăng – ten trên một sườn đồi. Ăng – ten được dựng thẳng đứng trong không gian Oxyz với độ dài đơn vị trên mỗi trục bằng 1 m. Gọi O là gốc cột, A là điểm buộc dây cáp vào cột ăng – ten và M, N là hai điểm neo dây cáp xuống mặt sườn đồi (Hình 6). Cho biết tọa độ các điểm nói trên lần lượt là O(0; 0; 0), A(0; 0; 6), M(3; −4; 3), N(−5; −2; 2).

Quảng cáo

a) Tính độ dài các đoạn dây cáp MA và NA.

b) Tính góc tạo bởi các sợi dây cáp MA, NA với mặt phẳng sườn đồi.

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{M A} = (- 3; 4; 3), \vec{N A} = (5; 2; 4)$ suy ra

MA = $\sqrt{{(- 3)}^{2} + 4^{2} + 3^{2}}$ = ≈ 5,8 (m),

NA = $\sqrt{5^{2} + 2^{2} + 4^{2}} = \sqrt{45}$ ≈ 6,7 (m).

b) Mặt phẳng (OMN) có cặp vectơ chỉ phương là $\vec{O M} = (3; - 4; 3), \vec{O N} = (- 5 - 2; 2)$ nên có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = [\vec{O M}, \vec{O N}] = (|\begin{matrix} - 4 & 3 \\ - 2 & 2 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 3 & 3 \\ 2 & - 5 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{matrix}|)$

= (−2; −21; −26).

Gọi α, β lần lượt là góc tạo bởi MA, NA với mặt phẳng (AMN).

Ta có: sinα = $\frac{|\vec{M A} . \vec{n}|}{|\vec{M A}| . |\vec{n}|} = \frac{|- 3. (- 2) + 4. (- 21) + 3. (- 26)|}{\sqrt{{(- 3)}^{2} + 4^{2} + 3^{2}} . \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 21)}^{2} + {(- 26)}^{2}}}$

= $\frac{156}{\sqrt{38114}}$

⇒ α ≈ 53°;

Sinβ = $\frac{|\vec{N A} . \vec{n}|}{|\vec{N A}| . |\vec{n}|} = \frac{|5. (- 2) + 2. (- 21) + 4. (- 26)|}{\sqrt{5^{2} + 2^{2} + 4^{2}} . \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 21)}^{2} + {(- 26)}^{2}}}$