Người ta muốn dựng một cột ăng – ten trên một sườn đồi. Ăng – ten được dựng thẳng đứng trong không gian Oxyz

Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian

Bài 7 trang 55 SBT Toán 12 Tập 2: Người ta muốn dựng một cột ăng – ten trên một sườn đồi. Ăng – ten được dựng thẳng đứng trong không gian Oxyz với độ dài đơn vị trên mỗi trục bằng 1 m. Gọi O là gốc cột, A là điểm buộc dây cáp vào cột ăng – ten và M, N là hai điểm neo dây cáp xuống mặt sườn đồi (Hình 6). Cho biết tọa độ các điểm nói trên lần lượt là O(0; 0; 0), A(0; 0; 6), M(3; −4; 3), N(−5; −2; 2).

a) Tính độ dài các đoạn dây cáp MA và NA.

b) Tính góc tạo bởi các sợi dây cáp MA, NA với mặt phẳng sườn đồi.

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{MA}=\left(-3;4;3\right),\overrightarrow{NA}=\left(5;2;4\right)$ suy ra

MA = $\sqrt{{\left(-3\right)}^2+4^2+3^2}$ = ≈ 5,8 (m),

NA = $\sqrt{5^2+2^2+4^2}=\sqrt{45}$ ≈ 6,7 (m).

b) Mặt phẳng (OMN) có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{OM}=\left(3;-4;3\right),\overrightarrow{ON}=\left(-5-2;2\right)$ nên có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}-4& 3\\ -2& 2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}3& 3\\ 2& -5\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}3& -4\\ -5& -2\end{array}\right|\right)$

                                   = (−2; −21; −26).

Gọi α, β lần lượt là góc tạo bởi MA, NA với mặt phẳng (AMN).

Ta có: sinα = $\frac{\left|\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{MA}\right|.\left|\overrightarrow{n}\right|}=\frac{\left|-3.\left(-2\right)+4.\left(-21\right)+3.\left(-26\right)\right|}{\sqrt{{\left(-3\right)}^2+4^2+3^2}.\sqrt{{\left(-2\right)}^2+{\left(-21\right)}^2+{\left(-26\right)}^2}}$

                  = $\frac{156}{\sqrt{38114}}$

⇒ α ≈ 53°;

Sinβ = $\frac{\left|\overrightarrow{NA}.\overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{NA}\right|.\left|\overrightarrow{n}\right|}=\frac{\left|5.\left(-2\right)+2.\left(-21\right)+4.\left(-26\right)\right|}{\sqrt{5^2+2^2+4^2}.\sqrt{{\left(-2\right)}^2+{\left(-21\right)}^2+{\left(-26\right)}^2}}$

$=\frac{156}{\sqrt{50445}}$

⇒ β ≈ 44°.

Lời giải SBT Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian hay khác:

• Bài 1 trang 54 SBT Toán 12 Tập 2: Cho đường thẳng d có phương trình tham số $\left\{\begin{array}{l}x=7+5t\\ y=3+11t\\ z=9-6t\end{array}\right.$. Tìm một điểm trên d và một vectơ chỉ phương của d. ....

• Bài 2 trang 54 SBT Toán 12 Tập 2: Lập phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau: ....

• Bài 3 trang 54 SBT Toán 12 Tập 2: Lập phương trình chính tắc của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau: ....

• Bài 4 trang 54 SBT Toán 12 Tập 2: Xét phương trình tương đối giữa hai đường thẳng d và d' trong mỗi trường hợp sau: ....

• Bài 5 trang 55 SBT Toán 12 Tập 2: Tính góc α trong mỗi trường hợp sau: α là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(1;1;-1\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(5;2;7\right)$; ....

• Bài 6 trang 55 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 4. Mặt bên SAB là tam giác cân tại S có chiều cao bằng 6 ....

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 12 Bài 3: Phương trình mặt cầu

• SBT Toán 12 Bài tập cuối chương 5

• SBT Toán 12 Bài 1: Xác suất có điều kiện

• SBT Toán 12 Bài 2: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

• SBT Toán 12 Bài tập cuối chương 6

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)

---