10 Bài tập Vị trí tương đối của hai đường tròn (có đáp án) - Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 9

Đáp án: B

Nếu hai đường tròn có duy nhất một điểm chung thì ta nói đó là hai đường tròn tiếp xúc nhau.

Do đó ta chọn phương án B.

Đáp án: D

Ta thấy hai đường tròn $\left(O;R\right)$ và $\left(O^{\text{'}};r\right)$ với $R>r$ khi $R-r<d<R+r$ với $R>r$

Do đó ta chọn phương án D.

Đáp án: A

Nếu hai đường tròn không có điểm chung nào thì ta nói đó là hai đường tròn không cắt nhau.

Do đó ta chọn phương án A.

Đáp án: B

Vì hai đường tròn tròn $\left(O;R\right)$ và $\left(O^{\text{'}};r\right)$ có $O{O}^{\text{'}}<R-r$ , với $R>r$ nên ta nói đường tròn $\left(O;R\right)$ đựng $\left(O^{\text{'}};r\right)$

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án: C

Cho hai đường tròn $\left(O;R\right)$ và $\left(O^{\text{'}};r\right)$ với $R>r$. Ta nói hai đường tròn $\left(O;R\right)$ và $\left(O^{\text{'}};r\right)$ ở ngoài nhau khi $O{O}^{\text{'}}>R+r.$

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án: B

Để hai đường tròn $\left(O;5\text{cm}\right)$ và $\left(I;R\right)$tiếp xúc trong thì $OI=5-R>0$

Suy ra $R=5-OI=5-3=2\text{(cm).}$

Đáp án: A

Để hai đường tròn $\left(O;5\text{cm}\right)$ và $\left(I;R\right)$ ở ngoài nhau thì $OI>5+R$

Hay $7>5+R$ suy ra $R<2\text{cm}.$

Trong các phương án trên, ta thấy chỉ có giá trị $R=1\text{cm}$thỏa mãn điều kiện trên.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án: B

Đường tròn $\left(I\right)$ có bán kính $R=\frac{12}{2}=6\text{(dm).}$

Đường tròn $\left(J\right)$ có bán kính $R^{\text{'}}=\frac{18}{2}=9\text{(dm).}$

Ta có $R+R^{\text{'}}=6+9=15\text{(dm).}$

Do đó $R+R^{\text{'}}=IJ.$

Vậy hai đường tròn $\left(I\right),\left(J\right)$ tiếp xúc ngoài với nhau.

Do đó ta chọn phương án B.

Đáp án: C

Vì $O_{1}A=O_{1}B$ nên tam giác $O_{1}AB$ cân tại $\left(O_1\right)$. Do đó $\widehat{O_{1}AB}=\widehat{O_{1}BA}.$

Chứng minh tương tự, ta được $\widehat{O_{2}AC}=\widehat{O_{2}CA}.$

Ta có đường thẳng $\left(d\right)$ tiếp xúc với $\left(O_1\right),\left(O_2\right)$ lần lượt tại B, C nên $O_{1}B\perp BC$ tại B và $O_{2}C\perp BC$ tại C

Xét tứ giác $O_{1}BC{O}_2$ ta có: $\widehat{O_1}+\widehat{O_2}=360°-\hat{B}-\hat{C}=360°-90°-90°=180°$

Suy ra $\left(180°-\widehat{O_{1}AB}-\widehat{O_{1}BA}\right)+\left(180°-\widehat{O_{2}AC}-\widehat{O_{2}CA}\right)=180°$

Khi đó $2\cdot \widehat{O_{1}AB}+2\cdot \widehat{O_{2}AC}=180°$

Vì vậy $2\cdot \left(\widehat{O_{1}AB}+\widehat{O_{2}AC}\right)=180°$

Suy ra $\widehat{O_{1}AB}+\widehat{O_{2}AC}=90°$

Ta có $\widehat{O_{1}AB}+\widehat{BAC}+\widehat{O_{2}AC}=180°$

Suy ra $\widehat{BAC}=180°-\left(\widehat{O_{1}AB}+\widehat{O_{2}AC}\right)=180°-90°=90°.$

Vậy tam giác $ABC$ vuông tại A.

Do đó ta chọn phương án C.

Đáp án: A

Ta có:

⦁ $AB=A{C}^{\text{'}}+C^{\text{'}}B=10+15=25\text{(cm)};$

⦁ $AC=A{B}^{\text{'}}+B^{\text{'}}C=10+15=25\text{(cm)};$

⦁ $BC=B{A}^{\text{'}}+A^{\text{'}}C=15+15=30\text{(cm).}$

Suy ra tam giác $ABC$ cân tại A

Vì $B{A}^{\text{'}}=A^{\text{'}}C=15\text{(cm)}$nên $A^{\text{'}}$ là trung điểm

Tam giác $ABC$ cân tại A có $A{A}^{\text{'}}$ là đường trung tuyến nên $A{A}^{\text{'}}$ cũng là đường cao của tam giác $ABC$ hay $A{A}^{\text{'}}\perp BC$tại $A^{\text{'}}$thuộc cả hai đường tròn $\left(B;15\text{cm}\right),\left(C;15\text{cm}\right).$

Vì vậy $A{A}^{\text{'}}$ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn $\left(B;15\text{cm}\right),\left(C;15\text{cm}\right).$

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác $A{A}^{\text{'}}B$ vuông tại $A^{\text{'}}$ ta được: $A{B}^2=A{A^{\text{'}}}^2+B{A^{\text{'}}}^2.$

Suy ra $A{A^{\text{'}}}^2=A{B}^2-B{A^{\text{'}}}^2={25}^2-{15}^2=400.$ Do đó $A{A}^{\text{'}}=20\text{(cm).}$

Do đó chỉ có nhận định (i) là đúng. Vậy ta chọn phương án A.

a) Đúng.

Ta có: OA² + O^'A² = 12² + 5² = 169 = 13² = OO^'2.

Do đó, theo định lí Pythagore đảo được ΔOAO^' vuông tại A .

b) Đúng.

Có ΔOAO^' vuông tại A nên OA $\perp O^{\text{'}}A$ do đó OA là tiếp tuyến của đường tròn (O^').

c) Sai.

Vì OA $\perp O^{\text{'}}A$ nên O^'A là tiếp tuyến của đường tròn (O) .

d) Sai.

Có AB cắt OO^' tại H nên AB $\perp$ OO^' tại H .

Chứng minh được ΔHOA ᔕ ΔAOO^' (g.g)

Suy ra $\frac{AH}{A{O}^{\text{'}}}=\frac{OA}{O{O}^{\text{'}}}$, do đó HA = $\frac{OA.A{O}^{\text{'}}}{O{O}^{\text{'}}}=\frac{12.5}{13}=\frac{60}{13}$ (cm).

Do đó, AB = 2AH = $\frac{120}{13}<\frac{130}{13}=10$.

Vậy AB < 10 cm.

Đáp án: 4,8

Gọi H là giao điểm của OO^'và AB.

Vì 4² + 3² = 5²hay OA² + O^'A² = OO^'2 nên theo định lí Pythagore đảo, ta được tam giác OO'A vuông tại A.

Vì OA = OB = 4 (cm) nên O nằm trên đường trung trực của đoạn AB.

Chứng minh tương tự, ta được O^' nằm trên đường trung trực của đoạn AB.

Khi đó OO^' là đường trung trực của đoạn AB.

Vì vậy OO^' $\perp$AB tại H và H là trung điểm AB.

Xét ΔOAH và ΔOO'Acó:

$\widehat{OHA}=\widehat{OA{O}^{\text{'}}}=90°$ và $\widehat{AOH}$ là góc chung.

Do đó ΔOAH ᔕ ΔOO'A (g.g)

Suy ra $\frac{AH}{O^{\text{'}}A}=\frac{OA}{O{O}^{\text{'}}}$ nên AH = $\frac{OA}{O{O}^{\text{'}}}.O^{\text{'}}A=\frac{4}{5}.3=\frac{12}{5}$ (cm).

Vì H là trung điểm AB nên AB = 2AH = 2.$\frac{12}{5}=\frac{24}{5}=4,8$ (cm).

Đáp án: 20,8

Vì OA = OD nên tam giác OAD cân tại O. Do đó $\widehat{A_2}=\widehat{ODA}$.

Chứng minh tương tự, ta được $\widehat{A_1}=\widehat{O^{\text{'}}EA}$.

Ta có DE là tiếp tuyến của cả hai đường tròn (O) và (O^') với hai tiếp điểm D $\in$(O) và E $\in$(O^') nên $O^{\text{'}}E\perp DE$ và $OD\perp DE$.

Xét tứ giác O'EDO ta có: $\widehat{O_1^{\text{'}}}+\widehat{O_1}=360°-\widehat{O^{\text{'}}ED}-\widehat{ODE}=360°-90°-90°=180°$

Suy ra $(180°-\widehat{A_1}-\widehat{O^{\text{'}}EA})+(180°-\widehat{A_2}-\widehat{ODA})=180°$

Khi đó $2.\widehat{A_1}+2.\widehat{A_2}=180°$

Vì vậy $2.\widehat{(A_1}+\widehat{A_2})=180°$

Suy ra $\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=90°$

Ta có $\widehat{A_1}+\widehat{A_2}+\widehat{EAD}=180°$

Suy ra $\widehat{EAD}=180°-\widehat{(A_1}+\widehat{A_2})=180°-90°=90°$

Tam giác CEA có EO^' là đường trung tuyến và $EO\text{'}=\frac{AC}{2}$nên tam giác CEA vuông tại E.

Chứng minh tương tự, ta được tam giác ABD vuông tại D.

Tứ giác ADME có: $\widehat{DAE}=\widehat{AEM}=\widehat{ADM}=90°$ nên tứ giác ADME là hình chữ nhật.

Tam giác OAD cân tại O có $\widehat{DOA}=60°$nên tam giác OAD là tam giác đều.

Khi đó AD = OD = OA = 6 cm và $\widehat{ADO}=60°$

Vì $\widehat{ODE}=90°$ nên $\widehat{ODA}+\widehat{ADE}=90°$

Suy ra $\widehat{ADE}=90°-\widehat{ODA}=90°-60°=30°$.

Vì tam giác DAE vuông tại A nên AE = AD.$\tan \left(\widehat{ADE}\right)=6.\tan \left(30°\right)=2\sqrt{3}$ (cm).

Do đó diện tích tứ giác ADME là: S = AE.AD = $2\sqrt{3}.6=12\sqrt{3}\approx 20,8$ (cm²).