Nghiệm của bất phương trình mũ lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Nghiệm của bất phương trình mũ lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Nghiệm của bất phương trình mũ.

Nghiệm của bất phương trình mũ lớp 11 (chi tiết nhất)

1. Nghiệm của bất phương trình mũ

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng a^x > b (hoặc a^x ≤ b, a^x < b, a^x ≥ b) với a > 0, a ≠ 1.

Xét bất phương trình dạng a^x > b:

+ Nếu b ≤ 0 thì tập nghiệm của bất phương trình ℝ.

+ Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với $a^x>a^{{\log }_{a}b}$.

Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là x > log_ab.

Với 0 < a <1, nghiệm của bất phương trình là x < log_ab.

Chú ý: Các bất phương trình mũ cơ bản còn lại giải tương tự.

Nếu a > 1 thì a^u > a^v ⇔ u > v.

Nếu 0 < a < 1 thì a^u > a^v ⇔ u < v.

2. Ví dụ minh họa về nghiệm của bất phương trình mũ

Ví dụ 1. Giải các bất phương trình:

a) $3^x>\frac{1}{27}$.

b) 10^x < 0,01.

c) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge 3$.

d) 0,5^{x + 1} ≤ 0,5.

Hướng dẫn giải

a) $3^x>\frac{1}{27}$ ⇔ 3^x > 3^–3 ⇔ x > –3.

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là (–3; +∞).

b) 10^x < 0,01 ⇔ 0^x < 10 ^–2 ⇔ x < –2

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là (–∞; –2).

c) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge 3$ ⇔ 3^–x ≥ 3 ⇔ –x ≥ 3 ⇔ x ≤ –3.

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là (–∞; –3).

d) 0,5^{x + 1} ≤ 0,5 ⇔ x + 1 ≤ 1 ⇔ x ≤ 0.

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là (–∞; 0).

Ví dụ 2. G$x\ge -1+{\log }_{2}9$iải các bất phương trình:

a) 0,2^{x + 6} > 1,8.

b) 6^{x – 3} < 2.

c) $2^{\frac{1}{2}}.{\left(\sqrt{2}\right)}^x\ge 3$.

Hướng dẫn giải

a) 0,2^{x + 6} > 1,8 ⇔ x + 6 < log_0,21,8 ⇔ x < –6 + log_0,21,8.

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là (–∞; –6 + log_0,21,8).

b) 6^{x – 3} < 2 ⇔ x – 3 < log₆ 2 ⇔ x < 3 + log₆2.

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là (–∞; 3 + log₆2).

c) $2^{\frac{1}{2}}.{\left(\sqrt{2}\right)}^x\ge 3$ ⇔ ${\left(\sqrt{2}\right)}^{x+1}\ge 3$ ⇔ $x+1\ge {\log }_{\sqrt{2}}3$ ⇔ $x\ge -1+{\log }_{2}9$

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là (–1 + log₂9x; +∞).

Ví dụ 3. Dân số nước ta năm 2021 ước tính là 98 564 407 người. Giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm của nước ta là r = 0,93%. Biết rằng sau t năm, dân số Việt Nam (tính từ mốc năm 2021) ước tính theo công thức: S = A.e^rt. Hỏi từ năm nào trở đi, dân số nước ta vượt 120 triệu người?

Hướng dẫn giải

Để dân số nước ta vượt 120 triệu người thì:

98 564 407.e^0,0093t > 120 000 000 ⇔ 0,0093t > ln$\frac{120000000}{98564407}$ ⇔ t > 21,159

Vậy từ năm 2043 trở đi, dân số nước ta vượt 120 triệu người.

3. Bài tập về nghiệm của bất phương trình mũ

Bài 1. Giải các bất phương trình:

a) 5^x > $\frac{1}{125}$.

b) ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^x<\frac{1}{4}$.

c) ${\left(\frac{1}{6}\right)}^x\ge 216$.

d) 7^{x + 1} ≤ $\frac{1}{343}$.

Bài 2. Giải các bất phương trình:

a) 0,3^{x + 8} > 2,1.

b) 8^{2x – 1} < 6.

c) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge 3^{2x}$.

d) 4^{x + 5} ≤ 32^x

Bài 3. Giải các bất phương trình:

a) 16^x – 4^x – 6 < 0.

b) 4^x + 4^-x > 2.

Bài 4. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y=\sqrt{4^x-16}$.

b) $y=\frac{1}{\sqrt{3^{x-2}-81}}$.

c) $y = \log \left[{\left(\mathrm{0,2}\right)}^{x+5}-10\right]$.

Bài 5. Một người gửi ngân hàng 200 triệu đồng theo hình thức lãi kép có kì hạn 12 tháng với lãi suất 8%. Để có được số tiền cả gốc và lãi nhiều hơn 300 triệu đồng thì người đó phải gửi ít nhất bao nhiêu năm? Biết rằng lãi suất không thay đổi qua các năm và người đó không rút tiền ra hay gửi tiền thêm trong suốt quá trình gửi.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Nghiệm của phương trình logarit

• Nghiệm của bất phương trình logarit

• Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng là gì

• Phép chiếu vuông góc là gì

• Hai mặt phẳng vuông góc là gì

• Điều kiện vuông góc của hai mặt phẳng

---