Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba lớp 12 (chi tiết nhất)

Bài viết Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba lớp 12 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba.

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba lớp 12 (chi tiết nhất)

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba

• Các bước để khảo sát hàm số y = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0):

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Xét sự biến thiên của hàm số.

+ Tìm đạo hàm y’, xét dấu y’, xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.

+ Tìm giới hạn tại vô cực của hàm số.

+ Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 3: Vẽ đồ thị của hàm số.

+ Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ (nếu có và dễ tìm), …

+ Vẽ đồ thị hàm số.

Chú ý: Đồ thị của hàm số y = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0) luôn nhận điểm I(x₀; y₀) làm tâm đối xứng, trong đó x₀ là nghiệm của phương trình y” = 0 và y₀ = y (x₀).

2. Ví dụ minh họa về khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba

Ví dụ 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=\frac{x^3-3x^2-9x-5}{8}$.

Hướng dẫn giải

• Tập xác định: $D=ℝ$.

• Sự biến thiên:

Ta có: $y\text{'}=\frac{1}{8}\left(3x^2-6x-9\right),y\text{'}=0\iff x=-1$ hoặc x = 3.

+ Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên các khoảng (–$\infty$; –1) và (3; +$\infty$), nghịch biến trên khoảng (–1; 3).

+ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = –1; y_CĐ = 0.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3; y_CT = –4.

+ Giới hạn:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^3-3x^2-9x-5}{8}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[x^3\left(\frac{1}{8}-\frac{3}{8x}-\frac{9}{8x^2}-\frac{5}{8x^3}\right)\right]=+\infty$

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^3-3x^2-9x-5}{8}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[x^3\left(\frac{1}{8}-\frac{3}{8x}-\frac{9}{8x^2}-\frac{5}{8x^3}\right)\right]=-\infty$

Bảng biến thiên:

+ Đồ thị: Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm $\left(0;\frac{-5}{8}\right)$.

Ta có: y = 0 $\iff$ (x + 1)²(x – 5) = 0 $\iff$ x = –1 hoặc x = 5.

Do đó, đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm (–1; 0) và (5; 0).

Hàm số đi qua các điểm (–3; –4), (3; –4) và có tâm đối xứng là điểm U (1; –2).

Ví dụ 2. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y=x^3+3x^2+4x$.

Hướng dẫn giải

* Tập xác định: $D=ℝ$.

* Sự biến thiên:

Ta có: y’ = 3x² + 6x + 4 = 3(x + 1)² + 1 > 0 trên $ℝ$ nên hàm số đồng biến trên khoảng (–$\infty$; +$\infty$).

+ Hàm số đã cho không có cực trị.

+ Giới hạn: $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x^3+3x^2+4x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[x^3\left(1+\frac{3}{x}+\frac{4}{x^2}\right)\right]=+\infty$

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^3+3x^2+4x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[x^3\left(1+\frac{3}{x}+\frac{4}{x^2}\right)\right]=-\infty$

Bảng biến thiên:

+ Đồ thị: Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0; 0).

Hàm số đi qua các điểm (–2; –4); (1; 8) và có tâm đối xứng là điểm (–1; –2).

Ví dụ 3. Cho hàm số y = (m + 1)x³ – 2(m – 1)x² – x + m – 1 (m là tham số). Tìm giá trị của m để tâm đối xứng của đồ thị hàm số có hoành độ x₀ = 2.

Hướng dẫn giải

Ta có: y’ = 3(m + 1)x² – 4(m – 1)x – 1; y” = 6(m + 1) x – 4(m – 1).

$y"=0\iff \left\{\begin{array}{l}m+1\ne 0\\ x=\frac{2\left(m-1\right)}{3\left(m+1\right)}\end{array}\right.$

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số có hoành độ x₀ = 2 nên:

$\left\{\begin{array}{l}m+1\ne 0\\ \frac{2m-2}{3m+3}=2\end{array}\right.\iff m=-2$

Vậy m = –2 thì tâm đối xứng của đồ thị hàm số có hoành độ x₀ = 2.

3. Bài tập về khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba

Bài 1. Trong các đồ thị sau đây, có bao nhiêu đồ thị có dạng của đồ thị hàm số y = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0)?

Bài 2. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như sau:

Tìm hàm số có đồ thị như trên.

Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:

a) y = 2x³ – 4x² + 2x – 1.

b) y = –x³ + 3x² + 9x.

c) y = –x³ – 3x + 1.

d) y = $\frac{1}{3}$x³ + x² + 3x.

Bài 4. Cho hàm số: y = x³ + 3x² + 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại tâm đối xứng của nó.

Bài 5. Cho hàm số y = x³ + 3x² + mx + 2. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số đã cho có tâm đối xứng nằm trên trục đối xứng?

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 sách mới hay, chi tiết khác:

• Đường tiệm cận xiên là gì

• Khảo sát và vẽ đồ thị hàm phân thức hữu tỉ

• Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là gì

• Phương trình tổng quát của mặt phẳng là gì

• Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng

• Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau

---