Công thức tính góc của hai đường thẳng lớp 12 (chi tiết nhất)

Bài viết Công thức tính góc của hai đường thẳng lớp 12 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Nêu công thức tính góc của hai đường thẳng.

Công thức tính góc của hai đường thẳng lớp 12 (chi tiết nhất)

1. Công thức tính góc của hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{u_1}=\left(a_1;b_1;c_1\right);\overrightarrow{u_2}=\left(a_2;b_2;c_2\right)$  được tính bởi công thức: $\cos \left(d_1,d_2\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right)\right|=\frac{\left|{\overrightarrow{u}}_1.\overrightarrow{u_2}\right|}{\left|\overrightarrow{u_1}\right|.\left|\overrightarrow{u_2}\right|}=\frac{\left|a_1.a_2+b_1.b_2+c_1.c_2\right|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}.\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}$ .

2. Ví dụ minh họa về công thức tính góc của hai đường thẳng

Ví dụ 1. Tính góc giữa hai đường thẳng d₁: $\frac{x+2}{1}=\frac{y+4}{2}=\frac{z+1}{2}$ và d₂: $\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-1}{2}$.

Hướng dẫn giải

Ta có d₁ và d₂ lần lượt nhận vectơ $\overrightarrow{u_1}=\left(1;2;1\right);\overrightarrow{u_2}=\left(1;1;2\right)$ làm vectơ chỉ phương.

Khi đó $\cos \left(d_1,d_2\right)=\frac{\left|1.1+2.1+1.2\right|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}}=\frac{5}{6}$. Suy ra (d₁,d₂)≈ 33°33’.

Ví dụ 2. Tính góc giữa hai đường thẳng d₁: $\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-1}{1}$ và d₂: $\left\{\begin{array}{l}x=2-2t\\ y=2-2t\\ z=1+t\end{array}\right.$.

Hướng dẫn giải

Ta có d₁ và d₂ lần lượt nhận vectơ $\overrightarrow{u_1}=\left(1;2;2\right);\overrightarrow{u_2}=\left(-2;-2;1\right)$ làm vectơ chỉ phương.

Khi đó $\cos \left(d_1,d_2\right)=\frac{\left|1.\left(-2\right)+2.\left(-2\right)+1.2\right|}{\sqrt{9}.\sqrt{9}}=\frac{4}{9}$. Suy ra (d₁,d₂)≈ 63°36’.

Ví dụ 3. Tính góc giữa hai đường thẳng d₁: $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=-1+2t\\ z=-2-t\end{array}\right.$ và d₂: $\left\{\begin{array}{l}x=2+2t\text{'}\\ y=3+4t\text{'}\\ z=10t\text{'}\end{array}\right.$.

Hướng dẫn giải

Ta có d₁ và d₂ lần lượt nhận vectơ $\overrightarrow{u_1}=\left(1;2;-1\right);\overrightarrow{u_2}=\left(2;4;10\right)$ làm vectơ chỉ phương.

Khi đó $\cos \left(d_1,d_2\right)=\frac{\left|1.2+2.4+\left(-1\right).10\right|}{\sqrt{6}.\sqrt{120}}=0$. Suy ra (d₁,d2) = 0°.

3. Bài tập về công thức tính góc của hai đường thẳng

Bài 1. Tính góc giữa hai đường thẳng:

a. d₁: $\frac{x}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z}{-1}$ và d₂: $\frac{x-1}{3}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-1}{9}$.

b. d₁: $\frac{x-7}{3}=\frac{y}{5}=\frac{z-11}{4}$ và d₂: $\frac{x-3}{2}=\frac{y+6}{5}=\frac{z-1}{-4}$.

Bài 2. Tính góc giữa hai đường thẳng:

a. d₁: $\frac{x+2}{4}=\frac{y-1}{5}=\frac{z-1}{-6}$ và d₂: $\left\{\begin{array}{l}x=-2+5t\\ y=1-t\\ z=3t\end{array}\right.$.

b. d₁: $\frac{x+9}{3}=\frac{y+4}{6}=\frac{z+1}{6}$ và d₂: $\left\{\begin{array}{l}x=9-10t\\ y=7-10t\\ z=15+5t\end{array}\right.$.

Bài 3. Tính góc giữa hai đường thẳng:

a. d₁: $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2-t\sqrt{3}\\ z=3\end{array}\right.$ và d₂: $\left\{\begin{array}{l}x=4-t\text{'}\sqrt{3}\\ y=5+t\text{'}\\ z=6\end{array}\right.$.

b. d₁: $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=-1+t\\ z=3\end{array}\right.$ và d₂: $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\text{'}\\ y=-2+2t\text{'}\\ z=4+t\text{'}\end{array}\right.$.

Bài 4. Cho đường thẳng $\Delta :\frac{x}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{2}$. Tính côsin của góc giữa đường thẳng ∆ và các trục tọa độ.

Bài 5. Cho 4 điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) và D(−2;1;−1). Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

Bài 6. Cho hai đường thẳng d₁: $\left\{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=-t\sqrt{2}\\ z=2+t\end{array}\right.$ và d₂: $\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1+t\sqrt{2}\\ z=2+mt\end{array}\right.$. Tìm giá trị thực của tham số m sao cho góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ bằng 60°.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 sách mới hay, chi tiết khác:

• Điều kiện hai đường thẳng vuông góc

• Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng

• Công thức xác suất toàn phần

• Tốc độ thay đổi của một đại lượng là gì

• Bài toán tối ưu hóa là gì

• Vectơ trong không gian là gì

---