Tứ diện đều lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Tứ diện đều lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tứ diện đều.

Tứ diện đều lớp 11 (chi tiết nhất)

1. Tứ diện đều

+ Hình tứ diện có bốn mặt là các hình tam giác đều gọi là hình tứ diện đều.

+ Tứ diện đều là một hình chóp tam giác đều.

+ Cho tứ diện ABCD đều, khi đó hình chiếu vuông góc của điểm B lên mặt phẳng (ACD) trùng với tâm của tam giác ACD.

2. Ví dụ minh họa về tứ diện đều

Ví dụ 1. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

a) Tứ diện đều là hình gồm 3 mặt và các mặt đều là tam giác đều.

b) Hình tứ diện SABC có SA = SB = SC là tứ diện đều.

c) Hình tứ diện có tất cả các cạnh bằng nhau là hình tứ diện đều.

d) Hình chóp tứ giác đều là là một hình tứ diện đều.

Hướng dẫn giải

Khẳng định đúng là: Hình tứ diện có tất cả các cạnh bằng nhau là hình tứ diện đều.

Ví dụ 2. Cho hình tứ diện đều ABCD. Gọi E là trung điểm của CD và H là trực tâm của tam giác BCD. Biết rằng HE = 2$\sqrt{3}$ cm. Tính AD.

Hướng dẫn giải

Vì ABCD là tứ diện đều nên tam giác BCD là tam giác đều và CD = AD.

Vì H là trực tâm của tam giác đều BCD nên H là trọng tâm của tam giác đó.

Do đó, BE = 3HE = 6$\sqrt{3}$ (cm).

Vì tam giác BCD đều nên BE là đường trung tuyến đồng thời là đường cao trong tam giác đều đó. Do đó, CD = $\frac{2.6\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$= 12 (cm). Vậy AD = 12 cm.

Ví dụ 3. Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng 30 cm. Gọi H là tâm của tam giác đều BCD. Tính AH.

Hướng dẫn giải

Vì ABCD là tứ diện đều nên tam giác BCD là tam giác đều.

Gọi E là trung điểm của BD. Do đó, CE là đường trung tuyến đồng thời là đường cao trong tam giác BCD. Suy ra, CE = $\frac{30\sqrt{3}}{2}=15\sqrt{3}$ (cm).

Vì H là tâm của tam giác đều BCD nên H là trọng tâm của tam giác BCD. Do đó, CH = $\frac{2}{3}$CE = 10$\sqrt{3}$ (cm).

Vì H là tâm của tam giác đều BCD nên AH $\perp$ (BCD). Do đó, AH $\perp$ CH.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác AHC vuông tại H ta có:

AH² = AC² – CH² = 30² – (10$\sqrt{3}$)² = 600 nên AH = 10$\sqrt{6}$ (cm).

Vậy AH = 10$\sqrt{6}$ cm.

3. Bài tập về tứ diện đều

Bài 1. Tìm khẳng định sai khẳng định sau?

a) Các mặt của hình tứ diện đều là tam giác đều.

b) Các mặt của hình tứ diện đều là hình vuông.

c) Các đường cao trong của tứ diện đều bằng nhau.

d) Tứ diện đều ABCD có H là trọng tâm của tam giác BCD thì AH $\perp$ CD.

Bài 2. Cho hình tứ diện đều MNPQ. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của MN, NP, MP và T là giao điểm của PE, MF. Hình chiếu vuông góc của điểm Q trên mặt phẳng (MNP) là:

A. Điểm E.

B. Điểm F.

C. Điểm G.

D. Điểm T.

Bài 3. Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, AD. Chứng minh rằng 2MN = NP + MP.

Bài 4. Cho tứ diện đều ABCD có AD = 5 cm. Tính diện tích tam giác BCD.

Bài 5. Cho tứ diện đều MNPQ. Gọi K là trọng tâm của tam giác MPQ. Biết NK = 24 cm. Tính MQ.

Xem thêm các dạng bài tập Toán sách mới hay, chi tiết khác:

• Bất đẳng thức Cô-si lớp 9

• Bất đẳng thức Bunhiacopxki lớp 9

• Đạo hàm hàm phân thức lớp 11

• Đường chéo hình chữ nhật lớp 8

• Tính chất của tứ diện đều lớp 11

---