Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị (cực hay, có lời giải)

Bài viết Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị.

Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị (cực hay, có lời giải)

Bài giảng: Các dạng bài tìm cực trị của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

Xét hàm số y = ax³ + bx² + cx + d(a ≠ 0)

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂

Thực hiện phép chia f(x) cho f'(x) ta được f(x) = Q(x).f'(x) + ax + b

Gọi (x₁;y₁) và (x₂;y₂) là các điểm cực trị thì f'(x₁) = f'(x₂) = 0

Do đó, ta có

Suy ra phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là y = ax + b.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của hàm số y = x³ - 2x² - x + 1

Lời giải

Ta có y' = 3x² - 4x - 1, y' = 0 có hai nghiệm phân biệt nên hàm số luôn có 2 điểm cực trị

Thực hiện phép chia y cho y' ta được

Do đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình

Ví dụ 2: Biết đồ thị hàm số y = x³ - 3mx² + 3(m² - 1)x - m³ có hai điểm cực trị A và B. Viết phương trình đường thẳng AB.

Lời giải

Thực hiện phép chia y cho y' ta được phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị A và B là

AB: y = (-m² + 6m - 9)x - m² + 3m - 3

Ví dụ 3: Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = 2x³ + 3(m - 1)x² + 6(m - 2)x - 1 song song với đường thẳng y = -4x + 1.

Lời giải

Ta có y' = 6x² + 6(m - 1)x + 6(m - 2)

Hàm số có cực trị ⇔ y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt

⇔ Δ' > 0 ⇔ 9(m - 1)² - 36(m - 2) > 0 ⇔ 9(m - 3)² > 0 ⇔ m ≠ 3

Thực hiện phép chia y cho y' ta có phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là:

d: y = (-m² + 6m - 9)x - m² + 3m - 3

Khi đó d song song với đường thẳng y = -4x + 1

Ví dụ 4: Tìm m để đồ thị hàm số y = x³ - 3x² + mx có hai điểm cực trị Avà B đối xứng nhau qua đường thẳng x - 2y - 5 = 0

Lời giải

Ta có: y' = 3x² - 6x + m; y' = 0 ⇔ 3x²-6x + m = 0

Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi Δ' = 9 - 3m > 0 ⇔ m < 3(*)

Thực hiện phép chia y cho y', suy ra phương trình AB:

Đường thẳng d: x - 2y - 5 = 0 được viết lại

Do A,B đối xứng nhau qua dthì thỏa mãn điều kiên cần là (thỏa mãn (*))

Với m = 0 hàm số có dạng y = x³ - 3x² có hai điểm cực trị A(0;0), B(2;-4)

Khi đó trung điểm AB là I(1;-2) ∈ d (thỏa mãn điều kiện đủ)

Vậy giá trị m = 0 là đáp số của bài toán.

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x³ + 2x² + (m − 3)x + m có hai điểm cực trị và điểm M(9; −5) nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị.

Bài 2. Tính khoảng cách từ điểm P(3; 1) đến đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị của hàm số y = x³ − 3x² − (m² − 2)x + m² sao cho có giá trị lớn nhất?

Bài 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = 2x³ + 3(m − 3)x² − 3m + 11 có hai điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị và điểm N(2; −1) thẳng hàng.

Bài 4. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số y = x³ – 3x² + 1.

Bài 5. Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = −x³ + 3mx² − 3m − 1 có hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x + 8y – 74 = 0.

Bài 6. Biết rằng hàm số f(x) = $\frac{x^2-2x+m}{x^2+2}$ có 2 điểm cực trị x₁, x₂. Khi đó hãy tính giá trị của biểu thức $k=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}$.

Bài 7. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+mx+2m}{x+1}$ có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O. Tính diện tích của S_OAB.

Bài 8. Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của hàm số sau:

a) y = x³ – 2x² – x + 1;

b) y = 3x² – 2x³.

Bài 9. Cho hàm số y = 2x³ + 3(m – 1)x² + 6(m – 2)x – 1 (1).

Tìm m để hàm số (1) có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = – 4x + 1.

Bài 10. Cho hàm số y = x³ + mx² + 7x + 3 (*).

Tìm m để hàm số (*) có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị vuông góc với đường thẳng y = $\frac{3}{10}$x + 2012.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác đều (cực hay, có lời giải)
• Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác vuông (cực hay, có lời giải)
• Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích (cực hay, có lời giải)
• Cho bảng biến thiên tìm đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang (cực hay, có lời giải)

---