Con lắc lò xo là gì? Công thức tính con lắc lò (chi tiết nhất)

Bài viết Con lắc lò xo là gì? Công thức tính con lắc lò với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Con lắc lò xo là gì? Công thức tính con lắc lò.

Con lắc lò xo là gì? Công thức tính con lắc lò (chi tiết nhất)

1. Khái niệm về con lắc lò xo

Con lắc lò xo là một hệ gồm một vật nặng kích thước nhỏ có khối lượng m gắn vào một đầu của lò xo, có độ cứng k, đầu còn lại của lò xo được gắn hoặc treo vào một điểm cố định. Có thể bố trí cho con lắc lò xo dao động theo phương ngang, theo phương thẳng đứng hoặc theo phương của một dốc nghiêng.

Dựa theo định nghĩa trên ta có 3 loại con lắc lò xo:

Con lắc nằm ngang: Dạng này cần học kĩ.

Con lắc phương thẳng đứng: Trong quá trình học ta chỉ khảo sát con lắc treo theo phương thẳng đứng bởi dạng này thường xuyên ra vào đề thi của BGD&ĐT.

Con lắc nằm nghiêng: Phần này ta có thể lược bỏ vì nhiều năm trở lại đề thi không ra.

2. Cấu tạo của con lắc lò xo

Con lắc lò xo gồm một vật nhỏ có khối lượng m gắn vào đầu của một lò xo có độ cứng k, có khối lượng không đáng kể. Đầu kia của lò xo được giữ cố định. Vật m có thể trượt trên một mặt phẳng nằm ngang không có ma sát.

Vị trí cân bằng của vật là vị trí khi lò xo không biến dạng. Vật sẽ đứng yên mãi ở vị trí này nếu lúc đầu nó đứng yên.

Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng cho lò xo dãn ra một đoạn nhỏ rồi buông tay, ta thấy vật dao động trên một đoạn thẳng quanh vị trí cân bằng.

3. Khảo sát dao động của con lắc lò xo về mặt động lực học

Chọn trục tọa độ x song song với trục của lò xo, chiều dương là chiều tăng độ dài l của lò xo. Chọn gốc tọa độ O tại vị trí cân bằng. Giả sử vật có li độ x.

Vì trọng lực phản lực của mặt phẳng tác dụng vào vật cân bằng nhau, nên hợp lực tác dụng vào vật chỉ là lực đàn hồi của lò xo. Hơn nữa, ở vị trí vật có li độ x thì độ biến dạng của lò xo cũng bằng x(delta l = x). Do đó lực đàn hồi của lò xo $F_{\mathrm{đh}}=k.\mathrm{\Delta l}$ có thể viết dưới dạng đại số như sau:

$F=ma=-kxhaya=\left(\frac{k}{m}\right).x$

Trong đó:

F: là lực tác dụng lên m (N)

x: là li độ của vật (m)

k: độ cứng của lò xo (N/m)

Dấu (-) trong công thức thể hiện rằng lực F luôn hướng về vị trí cân bằng.

Ta có: $w^2=\frac{k}{m}\Rightarrow a+w^2.x=0$

Dao động của con lắc lò xo là dao động điều hòa theo phương trình. Tần số góc và chu kì của con lắc lò xo lần lượt là:

Tần số góc:

Chu kỳ:

Lực luôn hướng về vị trí cân bằng gọi là lực kéo về. Lực kéo về có độ lớn tỉ lệ với li độ và là lực gây ra gia tốc cho vật dao động điều hòa.

Ngoài ra các bạn có thể tham khảo bảng công thức về con lắc lò xo dưới đây và áo dụng để giải các bài tập:

Bảng tổng hợp các công thức về các dạng con lắc lò xo.

4. Khảo sát dao động của con lắc lò xo về mặt năng lượng

4.1 Động năng của con lắc lò xo

Động năng của con lắc lò xo là động năng của vật m:

$w_{đ}=\frac{1}{2}.m{v}^2$

4.2 Thế năng của con lắc lò xo

Ở lớp 10 ta đã biết, khi lò xo bị biến dạng thì hệ gồm lò xo và vật nhỏ, tức là con lắc lò xo, có thế năng đàn hồi $W_t=\frac{1}{2}.k\left(\Delta l^2\right).$

Thay $\mathrm{\Delta l}=x$ vào ta có công thức tính thế năng của con lắc lò xo như sau: $W_t=\frac{1}{2}.k.x^2$

4.3 Cơ năng của con lắc lò xo. Sự bảo toàn cơ năng

- Cơ năng của con lắc lò xo là tổng động năng và thế năng của con lắc.

$W=\frac{1}{2}.m.v^2+\frac{1}{2}.k.x^2$

- Ta có thể chứng minh rằng khi không có ma sát thì cơ năng của con lắc được bảo toàn. Nó chỉ biến đổi từ dạng thế năng sang động năng và ngược lại.

$W=\frac{1}{2}.k.A^2=\frac{1}{2}.m.w^2.A^2=const$

Cơ năng của con lắc lò xo luôn được bảo toàn và tỉ lệ với bình phương biên độ dao động.

Nếu tại $t_{1}tacóx_1,v1$ tại $t_{2}tacóx_2,v_2.$ Ta có thể tính được: tần số góc

Nếu cho k, m và W, ta có thể tính được:

Lưu ý:

- Một vật dao động điều hòa với tần số góc, chu kỳ T và tần số f thì động năng và thế năng biến thiên tuần hoàn với tần số góc w', tần số f' và chu kỳ T', mối liên hệ như sau:

$w\text{'}=2w,T\text{'}=\frac{T}{2},f\text{'}=2f.$

Khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai lần liên tiếp động năng bằng thế năng là $\frac{T}{4}y$

Khoảng thời gian 2 lần liên tiếp động năng bằng thế năng bằng không là $\frac{T}{2}$

- Khi con lắc lò xo dao động mà chiều dài của lò xo thay đổi từ chiều dài cực tiểu lmin đến chiều dài cực đại $l_{max}$ thì:

Biên độ: $A=\frac{\left(l_{max}-l_{min}\right)}{2}$

Chiều dài lúc cân bằng: $l_{cb}=l_o+\Delta l=\frac{\left(l_{max}-l_{min}\right)}{2}$

5. Phương trình dao động

- Xét một con lắc lò xo nằm ngang: vật có khối lượng m, lò xo có độ cứng k, mặt ngang không ma sát.

Chọn trục tọa độ như hình vẽ, gốc tọa độ ở VTCB ( vị trí lò xo không biến dạng.

Các lực tác dụng lên vật: trọng lực $\overrightarrow{P}$ , phản lực $\overrightarrow{N}$ , lực đàn hồi $\overrightarrow{F}$ .

Theo Định luật II Niu-tơn ta có $\overrightarrow{P}+\overrightarrow{N}+\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}$ :

Chiếu lên trục Ox ta có: F = ma

$\iff -kx=ma\iff a=x"=\left(\frac{-k}{m}\right).x$ (Phương trình vi phân cấp 2)

Nghiệm của phương trình trên có dạng: $x=A\cos \left(\omega t+\phi \right)$

Với $\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}\to \left\{\begin{array}{l}T=\frac{2\pi }{\omega }=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\\ f=\frac{\omega }{2\pi }=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}\end{array}\right.$

A, φ∶ được xác định từ điều kiện ban đầu của bài toán.

6. Lực trong con lắc lò xo:

- Lực đàn hồi $F_{\mathrm{đh}}$ : là lực xuất hiện khi lò xo bị biến dạng.

$F_{\mathrm{đh}}=-k\Delta l$ (Với ∆l là độ biến dạng của lò xo, so với vị trí lò xo không biến dạng)

- Lực phục hồi (lực hồi phục): là hợp lực tác dụng lên vật dao động điều hòa.

$F_{\mathrm{ph}}=\mathrm{ma}=-\mathrm{kx}$ (Với x là li độ của vật, so với VTCB)

- Lực phục hồi luôn hướng về vị trí cân bằng.

- Nhận xét:

Trong con lắc lò xo nằm ngang: x = ∆l (do VTCB là vị trí lò xo không biến dạng)

Trong con lắc lò xo thẳng đứng:

Tại VTCB, tổng hợp lực bằng 0: $k\Delta l_0=mg$

→ Độ biến dạng của lò xo ở VTCB $\Delta l_0=\frac{mg}{k}$

(VTCB khác vị trí lò xo không biến dạng). nếu

Độ lớn $\left\{\begin{array}{l}{F}_{ph\max }=kA\left(taibiên\right)\\ F_{ph\min }=0\left(taiVTCB\right)\end{array}\right.$

Độ lớn $\left\{\begin{array}{l}{F}_{dh\max }=k\left(\Delta l_0+A\right)taibiêntrên\\ F_{dh\min }=\left\{\begin{array}{l}0\left(neu\Delta l_0<A\right)\\ k\left(\Delta l_0-A\right)\left(neu\Delta l_0>A\right)\end{array}\right.\end{array}\right.$

7. Năng lượng trong con lắc lò xo:

- Động năng của con lắc lò xo: ${\text{W}}_d=\frac{m{v}^2}{2}$

- Thế năng đàn hồi của con lắc lò: ${\text{W}}_t=\frac{k\Delta l^2}{2}$

- Trong con lắc lò xo nằm ngang x = ∆l nên: ${\text{W}}_t=\frac{k\Delta l^2}{2}=\frac{k{x}^2}{2}$

- Cơ năng trong con lắc lò xo: $\text{W}={\text{W}}_d+{\text{W}}_t=\frac{m{v}^2}{2}+\frac{k{x}^2}{2}=\frac{k{A}^2}{2}=\frac{m{\left(\omega A\right)}^2}{2}=$ hằng số

- Nhận xét: Trong suốt quá trình dao động, động năng và thế năng của con lắc lò xo biên thiên tuần hoàn với chu kì $\frac{T}{2}$ , còn cơ năng của vật được bảo toàn.

8. Bài tập con lắc lò xo

Câu 1: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm vật nặng m = 1 kg, lò xo nhẹ có độ cứng k = 100 N/m. Đặt giá B nằm ngang đỡ vật m để lò xo có chiều dài tự nhiên. Cho giá B chuyển động đi xuống với gia tốc $a=2m/s^2$ không vận tốc đầu. Chọn trục tọa độ thẳng đứng, chiều dương trên xuống, gốc tọa độ ở VTCB của vật, gốc thời gian lúc vật rời giá B. Phương trình dao động của vật là:

A. $x=4\cos \left(10t-1,91\right)cm.$

B. $x=6\cos \left(10t-\frac{2\pi }{3}\right)cm.$

C. $x=6\cos \left(10t-1,91\right)cm.$

D. $x=4\cos \left(10t+\frac{2\pi }{3}\right)cm.$

Lời giải:

Khi ở VTCB lò xo giản:

$\Delta l=\frac{mg}{k}=\frac{\left(1.10\right)}{100}=0,1m=10cm$

Tần số dao động: $\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{100}{1}}=10rad/s.$

Vật m: $\overrightarrow{P}+\overrightarrow{N}+\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}$ (1)

Chiếu (1)$6cos\phi =-2\Rightarrow \phi =1,91rad/s.$ lên trục Ox đã chọn ta có: $mg-N-k\Delta l=ma$

Khi vật rời giá N = 0, gia tốc của vật $a=2m/s^2.$ Suy ra: $\Delta l=\frac{m\left(g-a\right)}{k}$ (1)

Trong khoảng thời gian đó vật đi được quãng đường Δl được tính $\Delta l=\frac{\left(a{t}^2\right)}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\frac{m\left(g-a\right)}{k}\text{=}\frac{a{t}^2}{2}$

$=\sqrt{\frac{\mathrm{2.1.}\left(10-2\right)}{2.100}}=0,283s.$

Quãng đường vật đi được đến khi rời giá: $S=\frac{a{t}^2}{2}=\frac{2.{\left(0,283s\right)}^2}{2}=0,08m=8cm.$

Tọa độ b$x=4cos\left(10\pi t+\frac{\pi }{2}\right)cm$an đầu của vật: $x_0=0,08-0,1=-0,02m=-2cm$

Vận tốc của vật khi rời giá có giá trị: $v_0=at=40\sqrt{2}cm/s$

Biên độ dao động là: $A=\sqrt{x^2+\frac{v^2}{{\omega }^2}}=6cm.$

Tại t = 0 thì $6cos\phi =-2\Rightarrow \phi =1,91rad/s.$

Vậy phương trình dao động của vật: $x=6cos\left(10t-1,91\right)cm.$

Chọn C

Câu 2: Một con lắc lò xo gồm vật nặng khối lượng 0,4 kg gắn vào đầu lò xo có độ cứng 40 N/m. Người ta kéo quả nặng ra khỏi VTCB một đoạn 4 cm rồi thả nhẹ cho nó dao động. Phương trình dao động của vật nặng là

A. $x=4cos\left(10t\right)cm$

B. $x=4cos\left(10t-\frac{\pi }{2}\right)cm$

C. $x=4cos\left(10\pi t-\frac{\pi }{2}\right)cm$

D. $x=4cos\left(10\pi t+\frac{\pi }{2}\right)cm$

Lời giải:

Chọn A. Vật dao động theo phương trình tổng quát $x=Acos\left(\omega t+\phi \right).$ Tần số góc

$\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}=10rad/s$

Từ cách kích thích ban đầu để tạo nên dao động ta có $Acos\phi =4cm$ và $Asin\phi =0$ , từ đó tính được A = 4 cm,$\phi =0$ . Thay vào phương trình tổng quát ta được $x=4cos\left(10t\right)cm$

Câu 3: Một con lắc lò xo gồm quả nặng khối lượng 1kg và một lò xo có độ cứng 1600 N/m. Khi quả nặng ở VTCB, người ta truyền cho nó vận tốc ban đầu bằng 2 m/s theo chiều dương trục toạ độ. Phương trình li độ dao động của quả nặng là

A.$x=5cos\left(40t-\frac{\pi }{2}\right)m$

B.$x=0,5cos\left(40t+\frac{\pi }{2}\right)m$

C.$x=5cos\left(40t-\frac{\pi }{2}\right)cm$

D.$x=0,5cos\left(40t\right)cm$

Lời giải:

Chọn C.

Vật dao động theo phương trình tổng quát: $x=Acos\left(\omega t+\phi \right)$

Tần số góc: $\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}=40rad/s$

Từ cách kích thích ban đầu để tạo nên dao động ta có: $Acos\phi =0cm$ cm và $-Asin\phi =200cm/s$ , từ đó tính được:

$A=5cm,\phi =-\frac{\pi }{2}$

Thay vào phương trình tổng quát ta được: $x=5cos\left(40t-\frac{\pi }{2}\right)cm$

Câu 4: Con lắc lò xo dao dộng điều hòa theo phương thắng đứng với tần số 4,5 Hz.Trong quá trình dao động, chiều dài lò xo biến đổi từ 4040 cm đến 56 cm. Chọn trục 0x thắng đứng hướng lên, gốc 0 tại vị trí cân bằng, lúc t = 0 lò xo dài 52 cm và vật đi ra xa vị trí cân bằng. Phương trình dao động của vật là?

Lời giải:

Ta có $\omega =2\pi f=9\pi rad/s.$

$A=\frac{1_{\max }-1_{\min }}{2}=8cm$

Chọn trục Ox thẳng đứng có chiều dương hướng lên, gốc tại vtcb.

Lúc t = 0, lò xo dài 52 cm và vật đi ra xa vtcb tức là vật đang ở vị trí $x=\frac{-A}{2}=-4cm$ và chuyển động theo chiều âm $\to \Phi =\frac{2\pi }{3}.$

→ Phương trình $x=8cos\left(9\pi t+\frac{2\pi }{3}\right)cm.$

Câu 5: Một lò xo đầu trên cố định, đầu dưới treo vật m. Vật dao động theo phương thẳng đứng với tần số góc $\omega =10\pi \left(rad/s\right).$ Trong quá trình dao động độ dài lò xo thay đổi từ 18 cm đến 22 cm. Chọn gố tọa độ tại VTCB. chiều dương hướng xuống, gốc thời gian lúc lò xo có độ dài nhỏ nhất. Phương trình dao động của vật là :

A. $x=2cos\left(10\pi t+\pi \right)cm$

B. $x=2cos\left(0,4\pi t\right)cm$

C. $x=4cos\left(10\pi t+\pi \right)cm$

D. $x=4cos\left(10\pi t+\pi \right)cm$

Lời giải:

$\omega =10\pi \left(rad/s\right)vàA=(l_{max}-l_{min})/2=2cm\Rightarrow$ loại B

$t=0:x_0=2cm,v_0=0:\left(\begin{array}{c}-2=2\cos \phi \\ 0=\sin \phi \end{array}\right)\Rightarrow \left(\begin{array}{c}\cos \phi <0\\ \phi =0;\pi \end{array}\right)$

chọn $\phi =\pi$

$\Rightarrow x=2cos\left(10\pi t+\pi \right)cm.$ Chọn: A

Xem thêm các bài viết để học tốt môn Vật Lí sách mới hay, chi tiết khác:

• Vật nhiễm điện là gì? Công thức tính vật nhiễm điện

• Công cơ học là gì? Công thức tính công cơ học

• Công là gì? Công thức tính công

• Công suất điện là gì? Công thức tính công suất điện

• Độ tụ là gì? Công thức tính độ tụ

• Gia tốc và vận tốc là gì? Công thức tính gia tốc và vận tốc

---