12 Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025

Bài viết cập nhật bộ 12 chuyên đề Toán ôn thi vào lớp 10 và 10 đề minh họa năm 2025 có lời giải chi tiết giúp học sinh có thêm tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

12 Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025

Xem thử

Chỉ từ 500k mua trọn bộ 12 Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

CHỦ ĐỀ 1. RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

BÀI 1. RÚT GỌN BIỂU THỨC KHÔNG CHỨA BIẾN

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1. Các hằng đẳng thức

Các hằng đẳng thức đã học:

• a² + 2ab + b² = (a + b)²;

• a² - 2ab + b² = (a - b)²

• (a - b)(a + b) = a² - b²

• ${\left(a+b\right)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$ = $\left(a^3+b^3\right)+3ab\left(a+b\right)$

• ${\left(a-b\right)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$ = $\left(a^3-b^3\right)-3ab\left(a-b\right)$

• $\sqrt{A^2}=\left|A\right|=\left\{\begin{array}{l}A\text{ \hspace{0.17em}khi \hspace{0.17em}}A\ge 0\\ -A\text{ \hspace{0.17em}khi \hspace{0.17em}}A<0\end{array}\right.$

2. So sánh hai căn

Với A > B ≥ 0 thì ta có $\sqrt{A}>\sqrt{B}$.

3. Liên hệ phép nhân, phép chia và phép khai phương

• Khai phương của một tích: $\sqrt{A.B}=\left|A\right|\cdot \sqrt{B}\left(A\ge \mathrm{0,}B\ge 0\right)$. Đặc biệt ${\left(\sqrt{A}\right)}^2=A$.

• Khai phương của một thương: $\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}\left(A\ge \mathrm{0,}B>0\right)$.

4. Đưa thừa số vào trong, ra ngoài dấu căn

Với A, B, C ta có:

5. Trục căn thức ở mẫu

Với A, B, C là các biểu thức và các biểu thức có nghĩa

II. CÁC DẠNG BÀI VÀ VÍ DỤ MINH HOẠ

Dạng 1. Biểu thức chứa căn bậc hai A = $\sqrt{\mathbf{a}\mathbf{\pm }\mathbf{2}\mathbf{b}\sqrt{\mathbf{c}}}$ (c ≥ 0).

Phương pháp giải: Biến đổi biểu thức trong căn dưới dạng bình phương. $a\pm 2b\sqrt{c}={\left(m\pm n\sqrt{c}\right)}^2$ suy ra $\sqrt{a\pm 2b\sqrt{c}}=\left|m\pm n\sqrt{c}\right|$.

Ví dụ 1. Rút gọn M = $\sqrt{4+2\sqrt{3}}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có $4+2\sqrt{3}=1^2+2\cdot 1\cdot \sqrt{3}+{\left(\sqrt{3}\right)}^2={\left(1+\sqrt{3}\right)}^2$.

Do đó $\sqrt{{\left(1+\sqrt{3}\right)}^2}=\left|\sqrt{3}+1\right|=\sqrt{3}+1$.

Vậy M = $\sqrt{4+2\sqrt{3}}=\sqrt{3}+1$.

Ví dụ 2. Rút gọn N = $\sqrt{21-12\sqrt{3}}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có $21-12\sqrt{3}$ = $3^2-2\cdot 3\cdot 2\sqrt{3}+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2$ = ${\left(3-2\sqrt{3}\right)}^2$.

Do đó $\sqrt{{\left(3-2\sqrt{3}\right)}^2}=\left|3-2\sqrt{3}\right|=2\sqrt{3}-3$.

Vậy N = $\sqrt{21-12\sqrt{3}}=2\sqrt{3}-3$.

Biểu thức có dạng A = $\sqrt{\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}\sqrt{\mathbf{c}}}\mathbf{\pm }\sqrt{\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b}\sqrt{\mathbf{c}}}$ (b lẻ)

Ví dụ 3. Rút gọn E = $\sqrt{7+3\sqrt{5}}\pm \sqrt{7-3\sqrt{5}}$.

Hướng dẫn giải:

Cách 1: Nhân hai vế với $\sqrt{2}$ và đưa về Dạng 1.

Ta có $E\sqrt{2}$ = $\sqrt{14+2\cdot 3\sqrt{5}}+\sqrt{14-2\cdot 3\sqrt{5}}$

                  = $\sqrt{3^2+2\cdot 3\cdot \sqrt{5}+{\left(5\right)}^2}+\sqrt{3^2-2\cdot 3\cdot \sqrt{5}+{\left(5\right)}^2}$

                  = $\sqrt{{\left(3+\sqrt{5}\right)}^2}+\sqrt{{\left(3-\sqrt{5}\right)}^2}$

                  = $\left|3+\sqrt{5}\right|+\left|3-\sqrt{5}\right|$

                  = $3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5}$ = 6.

Khi đó $E\sqrt{2}$ = 6 nên E = $3\sqrt{2}$.

Cách 2: Bình phương hai vế và rút gọn.

Ta có A² = $7+3\sqrt{5}+2\sqrt{\left(7+3\sqrt{5}\right)\left(7-3\sqrt{5}\right)}+7-3\sqrt{5}$.

Vì A > 0 nên A = $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$.

Dạng 2. Biểu thức chứa căn bậc b, dạng A = $\sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}\sqrt{\mathbf{c}}}\mathbf{\pm }\sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b}\sqrt{\mathbf{c}}}$

Phương pháp 1. Vận dụng hằng đẳng thức bậc 3 để đưa $a+b\sqrt{c}$ và $a-b\sqrt{c}$ về luỹ thừa bậc 3. Khi đó A = $\sqrt[3]{{\left(m+n\sqrt{c}\right)}^3}\pm \sqrt[3]{{\left(m-n\sqrt{c}\right)}^3}$ = $\left(m+n\sqrt{c}\right)\pm \left(m-n\sqrt{c}\right)$.

Ví dụ 5. Rút gọn A = $\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có ${\left(\sqrt{2}-1\right)}^3=2\sqrt{2}-1-3.\sqrt{2}\left(\sqrt{2}-1\right)=5\sqrt{2}-7$.

Do đó A = $\sqrt[3]{{\left(\sqrt{2}-1\right)}^3}-\sqrt[3]{{\left(\sqrt{2}+1\right)}^3}$ = $\left(\sqrt{2}-1\right)-\left(\sqrt{2}+1\right)$ = -2.

⮚ Chú ý: Để kiểm tra $a+b\sqrt{c}={\left(m+n\sqrt{c}\right)}^3$ đúng hay chưa, ta có thể thử chiều ngược lại, thông thường nên thử với n = 1.

Phương pháp 2. Mũ ba hai vế và đưa về giải phương trình bậc ba

Vẫn với ví dụ trên, rút gọn: A = $\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}$.

Ta có: A³ = $\left(5\sqrt{2}-7\right)$ - $\left(5\sqrt{2}+7\right)$ - $3\cdot \sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}\cdot \sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}$.$\left(\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}\right)$

                = -14 - $3\cdot \sqrt[3]{50-49}\cdot A$ ⇔ A³ + 3A + 14 = 0

Suy ra (A + 2)(A² - 2A + 7) = 0 hay (A + 2)[(A - 1)² + 6] = 0.

Do đó A + 2 = 0 (vì (A - 1)² + 6 > 0 nên A = -2.

⮚ Chú ý: Từ Phương pháp 2, ta chứng minh một biểu thức dạng $x=\sqrt{a+b\sqrt{c}}+\sqrt{a-b\sqrt{c}}$ hay $x=\sqrt[3]{a+b\sqrt{c}}\pm \sqrt[3]{a-b\sqrt{c}}$ là nghiệm của một phương trình bậc hai hay bậc ba (cách làm là luỹ thừa bậc hai hay bậc ba như trên ta có phương trình của đề bài).

Ví dụ 6. Chứng minh $x=\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}$ là nghiệm của phương trình x³ - 3x - 18 = 0.

Hướng dẫn giải:

Ta có $x=\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}$.

Suy ra x³ = $9+4\sqrt{5}+9-4\sqrt{5}$ + $3\sqrt[3]{\left(9+4\sqrt{5}\right)\left(9-4\sqrt{5}\right)}$$\left(\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}\right)$

                = $18+3\sqrt[3]{81-80}\cdot x$ = 18 + 3x.

Do đó x³ - 3x - 18 = 0 nên $x=\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}$.

Vậy $x=\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}$ là nghiệm của phương trình x³ - 3x - 18 = 0.

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Tính x = $\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}$.

Bài 2. Rút gọn A = $\sqrt{5-\sqrt{13+4\sqrt{3}}}$.

Bài 3. Tính Q = $\sqrt{\sqrt{2}+2\sqrt{\sqrt{2}-1}}+\sqrt{\sqrt{2}-2\sqrt{\sqrt{2}-1}}$.

Bài 4. Chứng minh tổng $\sqrt[3]{18-5\sqrt{13}}+\sqrt[3]{18+5\sqrt{13}}$ là một số nguyên tố.

IV. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Cách 1: Ta có x = $\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}$

Suy ra $x\sqrt{2}=\sqrt{8+2\sqrt{7}}-\sqrt{8-2\sqrt{7}}$ = $\sqrt{{\left(\sqrt{7}+1\right)}^2}-\sqrt{{\left(\sqrt{7}-1\right)}^2}$ = $\sqrt{7}+1-\left(\sqrt{7}-1\right)$ = 2.

Hay $x\sqrt{2}=2$ nên x = $\sqrt{2}$.

Cách 2: Ta có x = $\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}$.

Suy ra x² = $8-2\sqrt{\left(4+\sqrt{7}\right)\left(4-\sqrt{7}\right)}$ = $8-2\sqrt{16-7}$ = 2.

Dễ thấy x > 0 nên x = $\sqrt{2}$.

Bài 2. Ta có A = $\sqrt{5-\sqrt{13+4\sqrt{3}}}=\sqrt{5-\sqrt{{\left(2\sqrt{3}\right)}^2+2.2\sqrt{3}.1+1^2}}$

                       = $\sqrt{5-\sqrt{{\left(2\sqrt{3}+1\right)}^2}}$ = $\sqrt{5-\left(2\sqrt{3}+1\right)}=\sqrt{4-2\sqrt{3}}$

                       = $\sqrt{{\left(3\right)}^2-2\sqrt{3}+1}$ = $\sqrt{{\left(\sqrt{3}-1\right)}^2}$ = $\left|\sqrt{3}-1\right|=\sqrt{3}-1$

Vậy A = $\sqrt{3}-1$.

Bài 3. Q = $\sqrt{\sqrt{2}+2\sqrt{\sqrt{2}-1}}+\sqrt{\sqrt{2}-2\sqrt{\sqrt{2}-1}}$

Suy ra Q² = $\sqrt{2}+2\sqrt{\sqrt{2}-1}+\sqrt{2}-2\sqrt{\sqrt{2}-1}$ + $2\sqrt{\left(\sqrt{2}+2\sqrt{\sqrt{2}-1}\right)\left(\sqrt{2}-2\sqrt{\sqrt{2}-1}\right)}$

                 = $2\sqrt{2}+2\sqrt{2-4\left(\sqrt{2}-1\right)}$ = $2\sqrt{2}+2\sqrt{6-4\sqrt{2}}$ = $2\sqrt{2}+2\sqrt{{\left(2-\sqrt{2}\right)}^2}$

                 = $2\sqrt{2}+2\sqrt{{\left(2-\sqrt{2}\right)}^2}$ = $2\sqrt{2}+2\left(2-\sqrt{2}\right)$ = 4.

Vì Q > 0 nên Q = 2.

Bài 4. Đặt x = $\sqrt[3]{18-5\sqrt{13}}+\sqrt[3]{18+5\sqrt{13}}$.

Ta có x³ = ${\left(\sqrt[3]{18-5\sqrt{13}}+\sqrt[3]{18+5\sqrt{13}}\right)}^3$

              = $18-5\sqrt{13}+18+5\sqrt{13}$ + $3\left(\sqrt[3]{18-5\sqrt{13}}\right)\left(\sqrt[3]{18+5\sqrt{13}}\right)$$\left(\sqrt[3]{18-5\sqrt{13}}+\sqrt[3]{18+5\sqrt{13}}\right)$

              = $36+3\sqrt[3]{\left({18}^2-25\cdot 13\right)}\cdot x$ = 36 - 3x.

Hay x³ = 36 - 3x nên x³ + 3x - 36 = 0, do đó $\left(x-3\right)\left(x^2+3x+12\right)=0$.

Do $x^2+3x+12={\left(x+\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{39}{4}>0$ nên x = 3là số nguyên tố.

BÀI 2. RÚT GỌN VÀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC CHỨA BIẾN

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

• a - x = $\left(\sqrt{a}-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{x}\right)$ với a; x ≥ 0.                   

• $b^3-x\sqrt{x}=b^3-{\left(\sqrt{x}\right)}^3=\left(b-\sqrt{x}\right)\left(b^2+b\sqrt{x}+x\right)$ với x ≥ 0.

• $\frac{m}{a-b\sqrt{c}}=\frac{m\left(a+b\sqrt{c}\right)}{\left(a-b\sqrt{c}\right)\left(a+b\sqrt{c}\right)}=\frac{m\left(a+b\sqrt{c}\right)}{a^2-b^2\cdot c}$ (m, a, b, c ∈ ℤ; c ≥ 0; a² ≠ b²c).

• $\frac{m}{a+b\sqrt{c}}=\frac{m\left(a-b\sqrt{c}\right)}{\left(a+b\sqrt{c}\right)\left(a-b\sqrt{c}\right)}=\frac{m\left(a-b\sqrt{c}\right)}{a^2-b^2\cdot c}$ (m, a, b, c ∈ ℤ; c ≥ 0; a² ≠ b²c).

II. CÁC DẠNG BÀI VÀ VÍ DỤ MINH HOẠ

Dạng 1. Rút gọn biểu thức

Phương pháp giải: Bước 1. Tìm điều kiện xác định của biểu thức • $\sqrt{f\left(x\right)},\sqrt[4]{f\left(x\right)}$: điều kiện xác định là f(x) ≥ 0. • A = $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$: điều kiện xác định là g(x) ≠ 0. • A = $\frac{f\left(x\right)}{\sqrt{g\left(x\right)}}$: điều kiện xác định là g(x) > 0. • A = $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}:\frac{m\left(x\right)}{n\left(x\right)}$: điều kiện xác định là g(x) ≠ 0, n(x) ≠ 0, m(x) ≠ 0. Bước 2. Quy đồng và rút gọn • Phân tích các mẫu số từng phân thức thành nhân tử (nếu mẫu số có thể phân tích). • Trong từng phân thức đơn lẻ, ta nên chú ý xem tử số có thể phân tích thành nhân tử rồi rút gọn với mẫu số hay không.

Ví dụ 1. Tìm điều kiện xác định của biểu thức A = $\frac{x+5}{\sqrt{x}-3}:\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+3}$.

Hướng dẫn giải:

Điều kiện xác định $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ \sqrt{x}-3\ne 0\\ \sqrt{x}+3\ne 0\\ \sqrt{x}-1\ne 0\end{array}\right.$ hay $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ \sqrt{x}\ne 3\\ \sqrt{x}\ne -3\\ \sqrt{x}\ne 1\end{array}\right.$, do đó $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x\ne 9\\ x\ne 1\end{array}\right.$.

Vậy điều kiện xác định của biểu thức A là x ≥ 0; x ≠ 9; x ≠ 1.

Ví dụ 2. Rút gọn biểu thức:

P = $\left(\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}+\frac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}\right):\left(1-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right)$ với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9.

Hướng dẫn giải:

Với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9, ta có

Ví dụ 3. Rút gọn A = $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\frac{3x+4}{x-4}\left(x\ge \mathrm{0,}x\ne 4\right)$.

Hướng dẫn giải:

Với x ≥ 0, x ≠ 4 ta có:

A = $\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}+\frac{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}-\frac{3x+4}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}$

   = $\frac{2\sqrt{x}-4}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{2\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$

   = $\frac{2}{\sqrt{x}+2}$

Ví dụ 4. Rút gọn A = $\frac{\frac{{\left(a-b\right)}^3}{{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^3}-b\sqrt{b}+2a\sqrt{a}}{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}+\frac{3a+3\sqrt{ab}}{b-a}$ (với a ≥ 0; b ≥ 0; a ≠ b).

Hướng dẫn giải:

Với a ≥ 0; b ≥ 0; a ≠ b, ta có

................................

................................

................................

Xem thử

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---