Bài toán thực tế lớp 12 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài toán thực tế lớp 12 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có lời giải chương trình mới dùng chung cho ba sách Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo, Cánh diều với bài tập đa dạng giúp Giáo viên có thêm tài liệu giảng dạy các dạng toán thực tế lớp 12.

Bài toán thực tế lớp 12 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Xem thử

Chỉ từ 300k mua trọn bộ Chuyên đề, các dạng Toán thực tế lớp 12 chương trình mới bản word trình bày đẹp mắt, chỉnh sửa dễ dàng:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

A. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

1. Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Định nghĩa: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên tập D. Khi đó ta có:

• M là giá trị lớn nhất của hàm số nếu

• m là giá trị nhỏ nhất của hàm số nếu

2. Một số lưu ý

• Khi yêu cầu tìm max min của hàm số mà không nói rõ xét trên tập nào thì ta hiểu là tìm max min trên miền xác định của hàm số đó.

• Để tìm max min của hàm số $y=f\left(x\right)$ trên miền D ta thường lập bảng biến thiên của hàm số $y=f\left(x\right)$ trên D. Từ bảng biến thiên ta có thể kết luận:

Điểm ở vị trí cao nhất $\to$ Kết luận max

Điểm ở vị trí thấp nhất $\to$ Kết luận min

• Để tìm max min của hàm số $y=f\left(x\right)$ trên đoạn [a; b] (f (x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trên (a; b) có thể trừ một số hữu hạn các điểm và $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm trong (a; b)) thì ta có thể giải theo các bước sau:

Bước 1: Giải phương trình $f^{\text{'}}\left(0\right)$ tìm các nghiệm $x_0\in \left(a;b\right)$

Bước 2: Tìm các điểm $x_i\in \left(a;b\right)$ mà tại đó đạo hàm không xác định (nếu có)

Bước 3: Tính toán $f\left(a\right),f\left(x_0\right),f\left(x_i\right),f\left(b\right)\left(*\right)$

Bước 4: Gọi M, m lần lượt là số lớn nhất và số nhỏ nhất của các kết quả tính toán ở bước (*) thì ta có thể kết luận: $M=\underset{[a;b]}{\text{max}}f\left(x\right);m=\underset{[a;b]}{\min }f\left(x\right)$

• Ta có thể sử dụng các bất đẳng thức có sẵn để đánh giá biểu thức cần tìm max, min.

▪ Bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm a, b:

Dấu " = " xảy ra khi a = b

▪ Bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm a, b, c:

Dấu " = " xảy ra khi a = b = c

▪ Bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm a₁, a₂, ... , a_n:

Dấu " = " xảy ra khi a₁ = a₂= ... = a_n

B. BÀI TẬP

Bài 1. Một loại vi khuẩn được tiêm một loại thuốc kích thích sự sinh sản. Sau t phút, số vi khuẩn được xác định theo công thức $N\left(t\right)=1000+30t^2-t^3\left(0\le t\le 30\right)$. Hỏi sau bao giây thì số vi khuẩn lớn nhất?

Lời giải

Xét hàm số $N\left(t\right)=1000+30t^2-t^3\left(0\le t\le 30\right)$.

Ta có: $N^{\text{'}}\left(t\right)=60t-3t^2=0$

Với t = 20 giây thì số vi khuẩn lớn nhất.

Bài 2. Một chất điểm chuyển động có vận tốc tức thời v (t) phụ thuộc vào thời gian t theo hàm số $v\left(t\right)=-t^4+24t^2+500$ (m/s). Trong khoảng thời gian từ t = 0 (s) đến t = 5 (s) chất điểm đạt vận tốc lớn nhất tại thời điểm nào?

Lời giải

Ta có $v^{\text{'}}\left(t\right)=-4t^3+48t=-4t\left(t^2-12\right)=0$

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên [0; 5] ta có:

$v\left(0\right)=500;v\left(2\sqrt{3}\right)=664;v\left(5\right)=475$

Vậy vận tốc lớn nhất khi $t=2\sqrt{3}\approx 4$giây.

Bài 3. Sự phân huỷ của rác thải hữu cơ có trong nước sẽ làm tiêu hao oxygen hoà tan trong nước. Nồng độ oxygen (mg/l) trong một hồ nước sau t giờ (t ≥ 0) khi một lượng rác thải hữu cơ bị xả vào hồ được xấp xỉ bởi hàm số có đồ thị là đường cong $y\left(t\right)=5-\frac{15t}{9t^2+1}$ như hình bên. Vào các thời điểm nào nồng độ oxygen trong nước cao nhất và thấp nhất?

Bài 4. Tính diện tích lớn nhất S_max của một hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính R = 6 cm nếu một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc theo đường kính của hình tròn mà hình chữ nhật đó nội tiếp.

Bài 5. Một người muốn xây một cái bể chứa nước, dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 288 dm³. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể là 500000đồng/m². Nếu người đó biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi người đó trả chi phí thấp nhất để thuê nhân công xây dựng bể đó là bao nhiêu?

Bài 6. Một nhà sản xuất cần làm ra những chiếc bình có dạng hình trụ với dung tích 10000 cm³. Mặt trên và mặt dưới của bình được làm bằng vật liệu có giá 1,2 nghìn đồng/cm², trong khi mặt bên của bình được làm bằng vật liệu có giá 0,75 nghìn đồng/cm². Tìm các kích thước của bình để chi phí vật liệu sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất.

Bài 7. Bác Nam muốn xây dựng một hố ga không nắp hình trụ với dung tích 3 m³. Hãy tính chi phí ít nhất mà bác Nam phải bỏ ra xây dựng hố ga, biết tiền công và vật liệu cho 1 m³ thành bê tông của hố ga (thành bê tông đáy và thành bê tông xung quang) là 685000 đồng.

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm Chuyên đề Toán thực tế lớp 12 chương trình mới có lời giải hay khác:

• Bài toán thực tế lớp 12 Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

• Bài toán thực tế lớp 12 Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

• Bài toán thực tế lớp 12 Ứng dụng đạo hàm để giải quyết bài toán liên quan thực tiễn

• Bài toán thực tế lớp 12 Vectơ và tọa độ của vectơ trong không gian

• Bài toán thực tế lớp 12 Thống kê

• Bài toán thực tế lớp 12 Ứng dụng nguyên hàm giải bài toán thực tiễn

---