Bài toán thực tế lớp 12 Vectơ và tọa độ của vectơ trong không gian

Bài toán thực tế lớp 12 Vectơ và tọa độ của vectơ trong không gian có lời giải chương trình mới dùng chung cho ba sách Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo, Cánh diều với bài tập đa dạng giúp Giáo viên có thêm tài liệu giảng dạy các dạng toán thực tế lớp 12.

Bài toán thực tế lớp 12 Vectơ và tọa độ của vectơ trong không gian

Xem thử

Chỉ từ 300k mua trọn bộ Chuyên đề, các dạng Toán thực tế lớp 12 chương trình mới bản word trình bày đẹp mắt, chỉnh sửa dễ dàng:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

A. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

1. Vectơ trong không gian

Định nghĩa: Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

Chú ý: Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, đối với vectơ trong không gian ta cũng có các kí hiệu và khái

niệm sau:

• Vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là B được kí hiệu là $\overrightarrow{AB}$.

• Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ thì vectơ còn được kí hiệu là $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\dots$

• Độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB}$ được kí hiệu là |$\overrightarrow{AB}$|, độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}$ được kí hiệu là |$\overrightarrow{a}$|

• Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó (Hình 1).

Hình 1. Đường thẳng d là giá của vectơ $\overrightarrow{a}$

Tương tự như trường hợp của vectơ trong mặt phẳng, ta có các khái niệm sau đối với vectơ trong không gian:

• Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.

• Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.

• Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ được gọi là bằng nhau, kí hiệu $\overrightarrow{a}$ = $\overrightarrow{b}$, nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

Chú ý: Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, ta có tính chất và các quy ước sau đối với vectơ trong không gian:

• Trong không gian, với mỗi điểm O và vectơ $\overrightarrow{a}$ cho trước, có duy nhất điểm M sao cho $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{a}$

• Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ví dụ như $\overrightarrow{AA},\overrightarrow{BB},\dots$ gọi là các vectơ-không.

• Ta quy ước vectơ không có độ dài là 0, cùng hướng (và vì vậy cùng phương) với mọi vectơ.

• Do đó, các vectơ không đều bằng nhau và được kí hiệu chung là $\overrightarrow{0}$.

2. Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian

a) Tổng của hai vectơ trong không gian

Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. Lấy một điểm O bất kì và các điểm A, B sao cho $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}$. Khi đó, vectơ $\overrightarrow{OB}$ được gọi là tổng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$, ký hiệu là $\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{b}$.

Trong không gian, phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.

Nhận xét: Quy tắc ba điểm và quy tắc hình bình hành trong mặt phẳng vẫn đúng trong không gian:

• Quy tắc ba điểm: Nếu A, B, C là ba điểm bất kì thì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

• Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$

• Quy tắc hình hộp chữ nhật: Cho hình hộp $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$. Ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}$.

Hệ thức tương tự: $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}=\overrightarrow{B{D}^{\text{'}}}$

Chú ý: Tương tự như phép cộng vectơ trong mặt phẳng, phép cộng vectơ trong không gian có các tính chất sau:

• Tính chất giao hoán: Nếu $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ bất kì thì $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$.

• Tính chất kết hợp: Nếu $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{c}$ là ba vectơ bất ki thì $\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)$.

• Tính chất cộng với vectơ $\overrightarrow{0}$: Nếu $\overrightarrow{a}$ là một vectơ bất kì thì $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}$.

Từ tính chất kết hợp của phép cộng vectơ trong không gian, ta có thể viết tổng của ba vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{c}$ là $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$ mà không cần sử dụng các dấu ngoặc. Tương tự đối với tổng của nhiều vectơ trong không gian.

b) Hiệu của hai vectơ trong không gian

Vectơ đối: Trong không gian, vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ được gọi là vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{a}$

• Vectơ đối của $\overrightarrow{a}$ kí hiệu là -$\overrightarrow{a}$

• Vectơ đối của $\overrightarrow{AB}$ là $\overrightarrow{BA}$, nghĩa là $-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}$ (dùng để làm mất dấu trừ trước vectơ)

• Vectơ $\overrightarrow{0}$ được coi là vectơ đối của chính nó

Định nghĩa: Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$. Ta gọi $\overrightarrow{a}+\left(-\overrightarrow{b}\right)$ là hiệu của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ và kí hiệu là $\overrightarrow{a}$ - $\overrightarrow{b}$. Phép lấy hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ.

Nhận xét:

• Với ba điểm O, A, B bất kì trong không gian thì ta có $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AB}$.

• Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đối nhau thì $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$

3. Tích của một số với một vectơ trong không gian

Trong không gian, tích của một số thực k ≠ 0 với một vectơ $\overrightarrow{a}\ne 0$ là một vectơ, kí hiệu là k$\overrightarrow{a}$, được xác định như sau:

• Cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ nếu k > 0; ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ nếu k < 0

• Có độ dài bằng |k|.|$\overrightarrow{a}$|.

Phép lấy tích của một số với một vectơ được gọi là phép nhân một số với một vectơ.

Chú ý: Quy ước $k\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$ nếu k = 0 hoặc $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$.

• Nếu $k\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$ thì k = 0 hoặc $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$.

• Trong không gian, điều kiện cần và đủ để hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}\left(\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}\right)$ cùng phương là có một số thực k sao cho $\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}$.

Hệ thức trung điểm, trọng tâm:

▪ Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$; $\overrightarrow{IA}=-\overrightarrow{IB}$; $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$;…

▪ Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$; $\overrightarrow{GA}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AK}$; $\overrightarrow{GA}=-2\overrightarrow{GK}$;…

Nhận xét:

▪ Với hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ bất kỳ, với mọi số h và k, ta luôn có:

• $k\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$

• $\left(h+k\right)\overrightarrow{a}=h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{a}$

• $h\left(k\overrightarrow{a}\right)=\left(hk\right)\overrightarrow{a}$

• $1.\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}$

• $\left(-1\right).\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{a}$

• $k.\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$

▪ Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ($\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$) cùng phương khi và chỉ khi có số k sao cho $\overrightarrow{a}=k.\overrightarrow{b}$

▪ Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số $k\ne 0$ sao cho $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$.

4. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

Góc giữa hai vectơ

Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ khác $\overrightarrow{0}$. Lấy một điểm A bất kì và gọi B, Clà hai điểm sao cho $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u},\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}$. Khi đó, góc $\widehat{BAC}\left(0^{°}\le \widehat{BAC}\le {180}^{°}\right)$ được gọi là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$, kí hiệu là ($\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$).

▪ Nếu $\overrightarrow{u}$ cùng hướng với $\overrightarrow{v}$ thì $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=0°$; ngược hướng thì $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=180°$; vuông góc thì $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=90°$

Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ: Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ khác $\overrightarrow{0}$. Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ là một số, kí hiệu là $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$, được xác định bởi công thức: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|.\text{cos(}\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\text{)}$.

▪ Trong trường hợp $\overrightarrow{u}$ = 0 hoặc $\overrightarrow{v}$ = 0 ta quy ước $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$

▪ $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}={\overrightarrow{u}}^2={\left(\overrightarrow{u}\right)}^2;$ ${\overrightarrow{u}}^2\ge 0;$ ${\overrightarrow{u}}^2=0\iff \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$

▪ Với hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ khác $\overrightarrow{0}$, ta có $\text{cos}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=\frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|}$

▪ Với hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ khác $\overrightarrow{0}$, ta có $\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{v}\iff \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$

Tính chất: Với ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ và số thực k ta có:

• $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a};$

• $\overrightarrow{a}.\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}$

• $\left(k\overrightarrow{a}\right).\overrightarrow{b}=k\left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)=\overrightarrow{a}.\left(k\overrightarrow{b}\right)$

5. Hệ trục toạ độ trong không gian

Định nghĩa: Trong không gian, ba trục $Ox,Oy,Oz$ đôi một vuông góc với nhau tại gốc O của mỗi trục.

Gọi $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục $Ox,Oy,Oz$.

• Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục toạ độ Descartes vuông góc $Oxyz$ hay đơn giản là hệ tọa độ $Oxyz$.

• Điểm O được gọi là gốc toạ độ.

• Các mặt phẳng $\left(Oxy\right),\left(Oyz\right),\left(Ozx\right)$ đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng toạ độ.

• ${\overrightarrow{i}}^2={\overrightarrow{j}}^2={\overrightarrow{k}}^2=1$ và $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=\overrightarrow{j}.\overrightarrow{k}=\overrightarrow{k}.\overrightarrow{i}=0$

Không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ còn được gọi là không gian $Oxyz$.

6. Toạ độ của điểm

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho điểm M. Toạ độ điểm M được xác định như sau:

• Xác định hình chiếu M₁ của điểm M trên mặt phẳng $Oxy$. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ tìm hoành độ a, tung độ b của điểm M₁.

• Xác định hình chiếu P của điểm M trên trục cao Oz, điểm P ứng với số c trên trục Oz. Số c là cao độ của điểm M.

• Bộ số $\left(a;b;c\right)$ là toạ độ điểm M trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, kí hiệu là $M\left(a;b;c\right)$

7. Toạ độ của vectơ

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$

• Toạ độ điểm M cũng là toạ độ của vectơ $\overrightarrow{OM}$

• Cho $\overrightarrow{u}$. Dựng điểm $M\left(a;b;c\right)$ thoả mãn $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{u}$ thì toạ độ của điểm M là toạ độ của $\overrightarrow{u}$.

Theo hình vẽ thì $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{OP}$$=a.\overrightarrow{i}+b.\overrightarrow{j}+c.\overrightarrow{k}$

Suy ra $\overrightarrow{u}=\left(a;b;c\right)=a.\overrightarrow{i}+b.\overrightarrow{j}+c.\overrightarrow{k}$

• Toạ độ các vectơ đơn vị lần lượt là:

$\overrightarrow{i}=\left(1;0;0\right),$ $\overrightarrow{j}=\left(0;1;0\right),$ $\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)$.

8. Biểu thức toạ độ của phép toán cộng, trừ, nhân một số thực với một vectơ

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(x;y;z\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(x^{\text{'}};y^{\text{'}};z^{\text{'}}\right)$. Khi đó ta có:

• $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(x+x^{\text{'}};y+y^{\text{'}};z+z^{\text{'}}\right)$

• $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\left(x-x^{\text{'}};y-y^{\text{'}};z-z^{\text{'}}\right)$

• $k\overrightarrow{a}=\left(kx;ky;kz\right)$ với k là một số thực.

Nhận xét: Vectơ $\overrightarrow{a}=\left(x;y;z\right)$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{b}=\left(x^{\text{'}};y^{\text{'}};z^{\text{'}}\right)\ne \overrightarrow{0}$ khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho

9. Biểu thức toạ độ tích vô hướng của hai vectơ

Trong không gian $Oxyz$, tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(x;y;z\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(x^{\text{'}};y^{\text{'}};z^{\text{'}}\right)$ được xác định bởi công thức: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=x{x}^{\text{'}}+y{y}^{\text{'}}+z{z}^{\text{'}}$

Nhận xét:

• Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi $x{x}^{\text{'}}+y{y}^{\text{'}}+z{z}^{\text{'}}=0$.

• Nếu $\overrightarrow{a}=\left(x;y;z\right)$ thì $\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

• Nếu $\overrightarrow{a}=\left(x;y;z\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(x^{\text{'}};y^{\text{'}};z^{\text{'}}\right)$ là hai vectơ khác $\overrightarrow{0}$ thì

$\text{cos}\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{x{x}^{\text{'}}+y{y}^{\text{'}}+z{z}^{\text{'}}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}\cdot \sqrt{x^{\text{'}2}+y^{\text{'}2}+z^{\text{'}2}}}.$

Chú ý: Nếu $A\left(x_A;y_A;z_A\right)$ và $B\left(x_B;y_B;z_B\right)$ thì $AB=\left|\overrightarrow{AB}\right|$$=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2+{\left(z_B-z_A\right)}^2}$.

Đặc biệt khi B trùng O ta nhận được công thức $OA=\sqrt{x_A^2+y_A^2+z_A^2}$.

10. Biểu thức toạ độ tích có hướng của hai vectơ

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(x;y;z\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(x^{\text{'}};y^{\text{'}};z^{\text{'}}\right)$ không cùng phương. Khi đó vectơ

$\overrightarrow{w}=\left(y{z}^{\text{'}}-y^{\text{'}}z;z{x}^{\text{'}}-z^{\text{'}}x;x{y}^{\text{'}}-x^{\text{'}}y\right)$ vuông góc với hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$

▪ Vectơ xác định như trên gọi là tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ kí hiệu là $\overrightarrow{w}=[\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}]$

▪ Quy ước thì

▪ $\overrightarrow{a}$ không cùng phương với $\overrightarrow{b}$ khi và chỉ khi $[\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}]\ne \overrightarrow{0}$

11. Biểu thức toạ độ trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm tam giác

Trong không gian $Oxyz$, toạ độ trung điểm và trọng tâm được xác định như sau:

▪ Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là $M\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2}\right)$.

▪ Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC là $G\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3};\frac{z_A+z_B+z_C}{3}\right)$.

B. BÀI TẬP

Bài 1. Tính khoảng cách từ trọng tâm của một khối Rubik (đồng chất) hình tứ diện đều đến một mặt của nó, biết rằng chiều cao của khối Rubik là 8 cm.

Lời giải

Giả sử khối Rubik (đồng chất) hình tứ diện đều được mô phỏng như hình vẽ.

Vì G là trọng tâm DBCD nên I là trọng tâm của tứ diện.

Vì ABCD là hình tứ diện đều nên $AG\perp \left(BCD\right)$ và AG = 8 cm.

Mặt khác $\overrightarrow{AI}=3\overrightarrow{IG}$ nên 3 điểm $A,I,G$ thẳng hàng và $IG=\frac{1}{4}AG$.

Do đó $IG\perp \left(BCD\right)$$\Rightarrow d\left(I,\left(BCD\right)\right)=IG=\frac{1}{4}AG=2\text{cm}$.

Bài 2. Ba sợi dây không giãn với khối lượng không đáng kể được buộc chung một đầu và được kéo căng về ba hướng khác nhau. Nếu các lực kéo làm cho ba sợi dây ở trạng thái đứng yên thì khi đó ba sợi dây nằm trên cùng một mặt phẳng. Hãy giải thích vì sao?

Lời giải

Giả sử lực kéo trên mỗi sợi dây được biểu diễn bởi các vectơ $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ với là đầu chung của ba sợi dây. Khi ba sợi dậy cân bằng thì $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$.

Vẽ hình bình hành OADB. Theo quy tắc hình bình hành thì $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD}$.

Do đó $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$$\iff \overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OD}$.

Hay O là trung điểm của CD. Do đó các điểm $O,A,B,C$ cùng thuộc mặt phẳng (ABCD).

Suy ra ba sợi dây cùng nằm trong mặt phẳng đó.

Bài 3. Cho biết A (đơn vị: J ) sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ tác dụng lên một vật được tính bằng công thức $A=\overrightarrow{F}.\overrightarrow{d}$ trong đó $\overrightarrow{d}$ là vectơ biểu thị độ dịch chuyển của vật (đơn vị: mét) khi chịu tác dụng của lực $\overrightarrow{F}$. Một chiếc xe có khối lượng 1,5 tấn đang đi xuống trên một đoạn đường dốc có góc nghiêm 5^o so với phương ngang. Tính công sinh ra bởi trọng lực $\overrightarrow{P}$ khi xe đi hết đoạn đường dốc dài 30 m (làm trong kết quả đến hàng đơn vị), biết rằng trọng lực $\overrightarrow{P}$ được xác định bởi công thức $\overrightarrow{P}=m.\overrightarrow{g}$, với m (đơn vị: kg) là khối lượng của vật và $\overrightarrow{g}$ là gia tốc rơi tự do có độ lớn $g=9,8{\text{m/s}}^2$.

Bài 4. Một chất điểm A nằm trên mặt phẳng nằm ngang ($\alpha$), chịu tác động bởi ba lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$. Các lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$ có giá nằm trong ($\alpha$) và $\left(\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}\right)=135°$, còn lực $\overrightarrow{F_3}$ có giá vuông góc với ($\alpha$) và hướng lên trên. Xác định cường độ hợp lực của các lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ biết rằng độ lớn của ba lực đó lần lượt là 20 N, 15 N và 10N.

Bài 5. Trong không gian với một hệ trục toạ độ cho trước (đơn vị đo lấy theo km), ra đa phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $A\left(800;500;7\right)$ đến điểm $B\left(940;550;8\right)$ trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì toạ độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo $D\left(x;y;z\right)$. Khi đó $x+y+z=?$

Bài 6. Một chiếc xe đang kéo căng sợi dây cáp AB trong công trường xây dựng, trên đó đã thiết lập hệ toạ độ $Oxyz$ như hình vẽ dưới với độ dài đơn vị trên các trục tọa độ bằng 1m. Tìm được tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}=\left(a;b;c\right)$. Khi đó tính a + c.

Bài 7. Một thiết bị thăm dò đáy biển như hình vẽ được đẩy bởi một lực $\overrightarrow{f}=\left(5;4;-2\right)$ (đơn vị: N) giúp thiết bị thực hiện độ dời $\overrightarrow{a}=\left(70;20;-40\right)$ (đơn vị: m). Tính công sinh bởi lực $\overrightarrow{f}$.

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm Chuyên đề Toán thực tế lớp 12 chương trình mới có lời giải hay khác:

• Bài toán thực tế lớp 12 Ứng dụng đạo hàm để giải quyết bài toán liên quan thực tiễn

• Bài toán thực tế lớp 12 Thống kê

• Bài toán thực tế lớp 12 Ứng dụng nguyên hàm giải bài toán thực tiễn

• Bài toán thực tế lớp 12 Ứng dụng tích phân giải bài toán thực tiễn liên quan đến Vật lí

• Bài toán thực tế lớp 12 Ứng dụng hình học của tích phân

• Bài toán thực tế lớp 12 Phương pháp tọa độ trong không gian

---