Bài toán thực tế lớp 12 Ứng dụng hình học của tích phân

Bài toán thực tế lớp 12 Ứng dụng hình học của tích phân có lời giải chương trình mới dùng chung cho ba sách Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo, Cánh diều với bài tập đa dạng giúp Giáo viên có thêm tài liệu giảng dạy các dạng toán thực tế lớp 12.

Bài toán thực tế lớp 12 Ứng dụng hình học của tích phân

Xem thử

Chỉ từ 300k mua trọn bộ Chuyên đề, các dạng Toán thực tế lớp 12 chương trình mới bản word trình bày đẹp mắt, chỉnh sửa dễ dàng:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

A. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

1. Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của một hàm số, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x =b

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên đoạn [a, b]. Khi đó, diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=f\left(x\right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,x=b$ được tính bởi công thức:

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|\text{d}x$.

⮚ Chú ý: Nếu $f\left(x\right)$ không đổi dấu trên đoạn [a, b] thì $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|\text{d}x=\left|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x\right|$.

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số và hai đường thẳng x = a, x = b

Cho hai hàm số $y=f\left(x\right)$ và $y=g\left(x\right)$ liên tục trên đoạn [a, b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y=f\left(x\right)$, $y=g\left(x\right)$ và hai đường thẳng $x=a,x=b$ được tính bởi công thức: $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f\left(x\right)-g\left(x\right)|\text{d}x$.

⮚ Chú ý: Nếu hiệu $f\left(x\right)-g\left(x\right)$ không đổi dấu trên đoạn [a, b] thì

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f\left(x\right)-g\left(x\right)|\text{d}x=\left|\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)\text{d}x\right|$.

c) Mở rộng

Cho hai hàm số $y=f\left(x\right),y=g\left(x\right)$ liên tục trên đoạn [a, b] và có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Khi đó, $S=S_1+S_2+S_3=\underset{a}{\overset{d}{\int }}|f\left(x\right)-g\left(x\right)|\text{d}x$

$=\underset{a}{\overset{b}{\int }}[g\left(x\right)-f\left(x\right)]\text{d}x+\underset{b}{\overset{c}{\int }}[f\left(x\right)-g\left(x\right)]\text{d}x$$+\underset{c}{\overset{d}{\int }}[g\left(x\right)-f\left(x\right)]\text{d}x$.

2. Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể

a) Tính thể tích vật thể

Cho một vật thể trong không gian Oxyz. Gọi (H) là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm có hoành độ $x=a,x=b$. Một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là $x\left(a\le x\le b\right)$ cắt vật thể theo mặt cắt có diện tích là S (x). Giả sử S (x) là hàm số liên tục trên [a, b].

Khi đó thể tích V của vật thể (H) được tính bởi công thức: $V=\underset{a}{\overset{b}{\int }}S\left(x\right)\text{d}x$.

b) Thể tích khối tròn xoay

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục và không âm trên đoạn [a, b]. Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,x=b$ $\left(a<b\right)$ xung quanh trục hoành, ta được một hình khối gọi là khối tròn xoay. Thể tích V của khối tròn xoay đó được tính bởi công thức: $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2\left(x\right)\text{d}x$.

c) Mở rộng

• Cho hàm số $x=f\left(y\right)$ liên tục và không âm trên đoạn [c, d]. Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $x=f\left(y\right)$, trục tung và hai đường thẳng $x=a,x=b$ $\left(a<b\right)$ xung quanh trục tung, ta được một hình khối gọi là khối tròn xoay.

Thể tích $V_{Oy}$ của khối tròn xoay đó được tính bởi công thức: $V_{Oy}=\pi \underset{c}{\overset{d}{\int }}{f}^2\left(y\right)\text{d}y$.

• Cho các hàm số $y=f\left(x\right)$, $y=g\left(x\right)$ liên tục và không âm trên đoạn [a, b]. Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$, $y=g\left(x\right)$ và hai đường thẳng $x=a,x=b$ $\left(a<b\right)$ xung quanh trục hoành, ta được một hình khối gọi là khối tròn xoay.

Thể tích khối tròn xoay này được tính bởi công thức:

$V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f^2\left(x\right)-g^2\left(x\right)|\text{d}x$.

B. BÀI TẬP

Bài 1. Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hóa có dạng hình parabol. Người ta dự định lắp của kính cường lực cho vòm cửa này. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết rằng vòm cửa cao 8 (m) và rộng 8 (m) (như hình vẽ).

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Với hệ trục đã chọn, parabol $\left(P\right):y=a{x}^2+bx+c\left(a\ne 0\right)$ có đỉnh $A\left(0;8\right)$ và đi qua hai điểm $B\left(-4;0\right)$, $C\left(4;0\right)$ nên có phương trình: $y=-\frac{1}{2}{x}^2+8$.

Diện tích S mặt kính cần lắp là diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi (P), trục hoành, đường thẳng $x=-4;x=4$.

Do đó: $S=\underset{-4}{\overset{4}{\int }}(-\frac{1}{2}{x}^2+8)\text{d}x=\frac{128}{3}\left({\text{m}}^{\text{2}}\right)$.

Bài 2. Cho một viên gạch men có dạng hình vuông OABC như hình vẽ. Sau khi tọa độ hóa, ta có O (0; 0), A (0; 1), B (1; 1), C (1; 0) và hai đường cong lần lượt là đồ thị hàm số $y=x^3$ và $y=\sqrt[3]{x}$. Tính diện tích của phần không được tô đậm trên viên gạch men.

Lời giải

Diện tích hình vuông có cạnh bằng 1 là $S=1^2=1$.

Gọi $S_1$ là diện tích phần tô đậm.

Ta có $S_1=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(\sqrt[3]{x}-x^3\right)\text{d}x=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(x^{\frac{1}{3}}-x^3)\text{d}x$$=(\frac{3}{4}{x}^{\frac{4}{3}}-\frac{x^4}{4})|\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}=\frac{1}{2}$.

Vậy diện tích phần không được tô đậm trên viên gạch men bằng $S-S_1=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$.

Bài 3. Ông An muốn làm một cánh cửa bằng sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ. Biết rằng đường cong phía trên là một parabol, tứ giác ABCD là hình chữ nhật. Giá của cánh cửa sau khi hoàn thành là 900.000 đồng/m². Tính số tiền mà ông An phải trả để làm cánh cửa đó.

Bài 4. Trên cửa sổ có dạng hình chữ nhật, một họa sĩ thiết kế logo hình con cá cho một doanh nghiệm thủy sản. Logo giới hạn bởi hai parabol với các kích thước được cho như hình bên (đơn vị trên trục tọa độ là decimet)

a) Lập phương trình parabol y = f(x) và y = g(x).

b) Tính diện tích của logo.

c) Logo chỉ cho phép 50% ánh sáng đi qua nó. Lượng ánh sáng đi qua toàn bộ cửa sổ sau khi làm logo sẽ giảm bao nhiêu phần trăm (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Bài 5. Một cái trống (hình vẽ dưới) có đường kính 1 m, hai mặt trống có đường kính 0,7 m và chiều cao của trống là 1 m. Thể tích khối giới hạn bởi bề mặt của trống gần với số nào?

Bài 6. Hình minh họa mặt cắt của một bức thường cũ có dạng hình chữ nhật với một cổng ra và có dạng hình parabol với các kích thước được cho hinh hình bên. Người ta dự định sơn lại mặt ngoài của béc tường đó. Chi phí để sơn bức tường là 15000 đồng/1m². Tổng chi phí để sơn toàn bộ mặt ngoài của bức tường là bao nhiêu?

Bài 7. Mặt cắt của một cửa hầm có dạng hình phẳng giới hạn bởi một parabol và đường thẳng nằm ngang như hình vẽ. Tính diện tích của cửa hầm.

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm Chuyên đề Toán thực tế lớp 12 chương trình mới có lời giải hay khác:

• Bài toán thực tế lớp 12 Vectơ và tọa độ của vectơ trong không gian

• Bài toán thực tế lớp 12 Thống kê

• Bài toán thực tế lớp 12 Ứng dụng nguyên hàm giải bài toán thực tiễn

• Bài toán thực tế lớp 12 Ứng dụng tích phân giải bài toán thực tiễn liên quan đến Vật lí

• Bài toán thực tế lớp 12 Phương pháp tọa độ trong không gian

• Bài toán thực tế lớp 12 Xác suất có điều kiện

---