Bài toán thực tế lớp 12 Ứng dụng tích phân giải bài toán thực tiễn liên quan đến Vật lí

Bài toán thực tế lớp 12 Ứng dụng tích phân giải bài toán thực tiễn liên quan đến Vật lí có lời giải chương trình mới dùng chung cho ba sách Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo, Cánh diều với bài tập đa dạng giúp Giáo viên có thêm tài liệu giảng dạy các dạng toán thực tế lớp 12.

Bài toán thực tế lớp 12 Ứng dụng tích phân giải bài toán thực tiễn liên quan đến Vật lí

Xem thử

Chỉ từ 300k mua trọn bộ Chuyên đề, các dạng Toán thực tế lớp 12 chương trình mới bản word trình bày đẹp mắt, chỉnh sửa dễ dàng:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

A. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

1. Định nghĩa tích phân

Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a, b].

Nếu F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên đoạn [a, b] thì hiệu số $F\left(b\right)-F\left(a\right)$ gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f (x), kí hiệu $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x$.

• Viết $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x=F\left(x\right){|}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)$.

• Gọi $\underset{a}{\overset{b}{\int }}$ là dấu tích phân; a là cận dưới; b là cận trên,

$f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x$ là biểu thức dưới dấu tích phân,

f (x) là hàm số dưới dấu tích phân.

Chú ý:

» Trường hợp a = b: $\underset{a}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x=0$.

» Trường hợp a > b: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x=-\underset{b}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x$.

» Tích phân không phụ thuộc vào biến số x hay t, nghĩa là $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(t\right)\text{\hspace{0.17em}d}t$.

2. Tính chất tích phân

(1) Cho hai hàm số $y=f\left(x\right),y=g\left(x\right)$ liên tục trên đoạn [a, b]. Khi đó:

• $\underset{a}{\overset{b}{\int }}[f\left(x\right)+g\left(x\right)]\text{\hspace{0.17em}d}x=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x+\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x$;

• $\underset{a}{\overset{b}{\int }}[f\left(x\right)-g\left(x\right)]\text{\hspace{0.17em}d}x=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x-\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x$.

(2) Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên đoạn [a, b], k là số thực. Khi đó:

• $\underset{a}{\overset{b}{\int }}kf\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x=k\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x$.

(3) Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên đoạn [a, b], $c\in \left(a;b\right)$. Khi đó

• $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x$.

3. Ứng dụng tích phân trong Vật lí

▪ Bài toán chuyển động của một vật

»    Một vật chuyển động theo phương trình vận tốc $v\left(t\right)$ trong khoảng thời gian t = a đến $t=b\left(a<b\right)$ sẽ di chuyển được quãng đường là: $s=\underset{a}{\overset{b}{\int }}v\left(t\right)dt$.

»    Một vật chuyển động có phương trình gia tốc $a\left(t\right)$ thì vận tốc của vật đó sau khoảng thời gian $\Delta t=t_2-t_1$ là: $v=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}a\left(t\right)dx$.

▪ Bài toán ứng dụng tích phân vào tìm các đại lượng vật lý như công, điện lượng, …

»    Theo định luật Hooke, lực cần dùng để giữ lò xo giãn thêm x mét từ độ dài tự nhiện là $f\left(x\right)=kx$, với $k\left(N/m\right)$ là độ cứng của lò xo. Công cần để kéo dãn lò xo từ độ dài $l_1$ đến độ dài $l_2$ là: $A=\underset{l_1}{\overset{l_2}{\int }}f\left(x\right)dx$.

»    Điện lượng chuyển qua tiết diện của dây dẫn của đoạn mạch trong thời gian từ $t_1$ đến $t_2$ là: $Q=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}I\left(t\right)dt$.

B. BÀI TẬP

Bài 1. Một vật chuyển động với vận tốc 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc $a\left(t\right)=3t+t^2$. Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.

Lời giải

Hàm vận tốc $v\left(t\right)=\int a\left(t\right)\text{d}t=\int \left(3t+t^2\right)\text{d}t$$=\frac{3t^2}{2}+\frac{t^3}{3}+C$.

Lấy mốc thời gian (t = 0) lúc tăng tốc $\Rightarrow v\left(0\right)=10\Rightarrow C=10$.

Ta được: $v\left(t\right)=\frac{t^3}{3}+\frac{3t^2}{2}+10$.

Sau 10 giây kể từ lúc tăng tốc, quãng đường vật đi được là:

$s=\underset{0}{\overset{10}{\int }}\left(\frac{t^3}{3}+\frac{3t^2}{2}+10\right)\text{d}x$$=\left(\frac{t^4}{12}+\frac{t^3}{2}+10t\right){|}_0^{10}=\frac{4300}{3}m$.

Bài 2. Một vật chuyển động dọc theo một đường thẳng sao cho vận tốc của nó tại thời điểm t (giây) là $v\left(t\right)=t^2-3t+2$ (m/s). Trong khoảng thời gian $1\le t\le 3$

a) Tìm độ dịch chuyển của vật.

b) Tìm tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian này.

Lời giải

a) Tìm độ dịch chuyển của vật.

Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian $1\le t\le 3$ là

$\underset{1}{\overset{3}{\int }}v\left(t\right)\text{d}t=\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(t^2-3t+2\right)\text{d}t=\left(\frac{t^3}{3}-\frac{3t^2}{2}+2t\right){|}_1^3$$=\left(\frac{3^3}{3}-\frac{3\cdot 3^2}{2}+2\cdot 3\right)-\left(\frac{1}{3}-\frac{3}{2}+2\right)=\frac{2}{3}$.

b) Tìm tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian này.

Tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian $1\le t\le 3$ là

$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left|v\left(t\right)\right|\text{d}t=\underset{1}{\overset{3}{\int }}|t^2-3t+2|\text{d}t=$$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(-t^2+3t-2\right)\text{d}t+\underset{2}{\overset{3}{\int }}\left(t^2-3t+2\right)\text{d}t$$=\frac{5}{6}+\frac{1}{6}=1$.

Bài 3. Một vật chuyển động dọc theo một đường thẳng sao cho vận tốc của nó tại thời điểm t (giây) là $v\left(t\right)=t^2-t-6$ (m/s). Trong khoảng thời gian $1\le t\le 4$

a) Tìm độ dịch chuyển của vật.

b) Tìm tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian này.

Bài 4. Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức $P^{\text{'}}\left(x\right)=-0,0002x+7,5$. Ở đây $P\left(x\right)$ là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được x đơn vị sản phẩm.

a) Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 50 lên 60 đơn vị sản phẩm.

b) Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 150 đơn vị sản phẩm.

Bài 5. Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức $P^{\text{'}}\left(x\right)=-0,0005x+12,2$. Ở đây $P\left(x\right)$ là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được x đơn vị sản phẩm.

a) Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 101 đơn vị sản phẩm.

b) Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 101 đơn vị sản phẩm.

Bài 6. Giả sử vận tốc v của dòng máu ở khoảng cách r từ tâm của động mạch bán kính R không đổi, có thể được mô hình hóa bởi công thức bên dưới. Tìm vận tốc trung bình (đối với r ) của động mạch trong khoảng $0\le r\le R$. So sánh vận tốc trung bình với vận tốc lớn nhất.

a) $v=\frac{k}{2}\left(\frac{4}{3}{R}^2-r^2\right)$, trong đó k là một hằng số.

b) $v=k\left(R^2-r^2\right)$, trong đó k là một hằng số.

Bài 7. Một vật chuyển động với phương trình vận tốc là $v\left(t\right)=3t+2$ (m/s). Biết tại thời điểm t = 2 (giây) thì vật đi được quãng đường là 10m. Hỏi tại thời điểm t = 30 (giây) vật đi được quãng đường bao nhiêu?

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm Chuyên đề Toán thực tế lớp 12 chương trình mới có lời giải hay khác:

• Bài toán thực tế lớp 12 Vectơ và tọa độ của vectơ trong không gian

• Bài toán thực tế lớp 12 Thống kê

• Bài toán thực tế lớp 12 Ứng dụng nguyên hàm giải bài toán thực tiễn

• Bài toán thực tế lớp 12 Ứng dụng hình học của tích phân

• Bài toán thực tế lớp 12 Phương pháp tọa độ trong không gian

• Bài toán thực tế lớp 12 Xác suất có điều kiện

---