Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử - Toán lớp 8
Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Nhằm mục đích giúp học sinh dễ dàng nhớ và nắm vững các công thức Toán lớp 8, VietJack biên soạn tài liệu Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đầy đủ công thức, lý thuyết và bài tập tự luyện giúp học sinh vận dụng và làm bài tập thật tốt môn Toán lớp 8.
I. Lý thuyết
Khái niệm: Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành tích của những đa thức.
1. Phương pháp đặt nhân tử chung
A.B + A.C = A( B + C )
Giải thích: Phương pháp đặt nhân tử chung trong phân tích đa thức thành nhân tử là nhóm các hạng tử có nhân tử chung.
Ví dụ:
a) 3x2 + 6x
= 3x.x + 3x.2
= 3x.( x + 2 )
b) x2y + xy2 + x2y2
= xy.x + xy.y + xy.xy
= xy ( x +y + xy )
2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức
( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
( a - b )2 = a2 - 2ab + b2
a2 - b2 = ( a - b )( a + b )
( a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
( a - b )3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
a3 + b3 = ( a + b )( a2 - ab + b2 )
a3 - b3 = ( a - b )( a2 + ab + b2 )
Giải thích: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức là áp dụng các hằng đẳng thức đó để biến tổng thành tích
Ví dụ:
a) 4x2 - 16y2
= ( 2x )2 - ( 4y )2
= ( 2x - 4y )(2x + 4y)
b) x3 + 6x2 + 12x + 7
= x3 + 6x2 + 12x + 8 - 1
= x3 + 3.x.2 + 3.x.22 + 23 - 1
= ( x + 2 )3 - 1
= ( x + 2 -1 ) [( x + 2 )2 + ( x + 2 ) + 1]
= ( x + 1 )( x2 + 4x + 4 + x + 2 + 1 )
= ( x + 1 )( x2 + 5x + 7 )
3. Phương pháp nhóm hạng tử
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử là nhóm các hạng tử phù hợp nhằm xuất hiện nhân tử chung hoặc sử dụng các hằng đẳng thức.
Ví dụ:
a) x2 - 3x + xy - 3y
= ( x2 - 3x ) + ( xy - 3y )
= x( x - 3 ) + y ( x-3 )
= ( x - 3 )( x + y )
b) x2 - 2x - y2 + 1
= x2 - 2x + 1 - y2
= ( x2 - 2x + 1 ) - y2
= ( x - 1 )2 - y2
= ( x - 1 - y )( x - 1 + y )
4. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp phối hợp nhiều phương pháp
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp phối hợp nhiều phương pháp là sửa dụng kết hợp hai hay nhiều phương pháp như đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử.
Ví dụ:
2x - 2y + y2 - 2xy + x2
= ( 2x - 2y ) + ( y2 - 2xy + x2 )
= 2( x - y ) + ( x2 - 2xy + y2 )
= 2( x- y ) + ( x - y )2
= ( x- y )[ 2 + ( x - y)]
5. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử.
Giải thích: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử là tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử, sau đó sử dụng phương pháp nhóm hạng tử.
Ví dụ:
x2 + 5x + 6
= x2 + 2x + 3x + 6
= ( x2 + 2x ) + ( 3x + 6 )
= x( x + 2 ) + 3( x + 2 )
= ( x + 2 )( x + 3 )
Chú ý: Với đa thức có dạng ax2 + bx + c với ( a ≠ 0 ) ta tách bx = b1x + b2x sao cho b1b2 = ac
6. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt ẩn phụ là đặt các hạng tử giống nhau thành biến mới để đưa đa thức đã cho về một đa thức với biến mới vừa đặt. Sau đó áp dụng các phương pháp cơ bản.
Ví dụ:
x4 + 3x2 - 4
Đặt x2 = t ( t ≥ 0 )
Khi đó đa thức ban đầu trở thành:
t2 + 3t - 4
= t2 + 4t - t - 4
= t( t + 4 ) - ( t + 4 )
= ( t + 4 )( t - 1 )
Đổi biến t thành x2 nên ta có
x4 + 3x2 - 4 = ( x2 + 4 )( x2 - 1 )
7. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp thêm bớt hạng tử
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp thêm bớt hạng tử là thêm bớt các hạng tử mới để cùng với các hạng tử cũ có thể ghép thành hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung.
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử
x4 + 4
Lời giải:
x4 + 4
= ( x2 )2 + 22
= ( x2 )2 + 4x2 - 4x2 + 22
= ( x2 )2 + 4x2 + 22 - 4x2
= (( x2)2+ 4x2+ 22 ) - (2x)2
= (( x2)2+ 2.x2.2+ 22 ) - (2x)2
= ( x2 + 2 )2 - (2x)2
= ( x2 + 2 - 2x )( x2 + 2 + 2x )
II. Bài tập vận dụng
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung
a) x2 - 6x
b) 3( x - y ) - 5x ( y - x )
c) 4x - 6y
d) 5( x + 3y ) - 15x( x + 3y )
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức
a) ( x - 3 )2 - ( 5 - 2x )2
b) ( x + y )2 - x2 + 4xy - 4y2
c) ( x + y )3 - ( x - y )3
d) x3 + y3 + z2 - 3xyz
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử
a) x4 - 9x3 + x2 - 9x
b) 3x2 + 5y - 3xy + ( -5x )
c) x2 + y – xy - x
d) 2xy + 3z + 6y +xz
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x2 + 4x - 12
b) 2x2 - 3x - 2
c) x4 + 2x2 - 8
d) x2 - 2xy - 3y2
e) ( 2x + 1 )4 - 3( 2x + 1 )2 + 2
f) 64x4 + 1
g) 81x4 + 4
h) x5 + x + 1
i) x4 + 4
Xem thêm các công thức Toán lớp 8 chọn lọc, hay khác:
- Phương pháp chia đơn thức, đa thức cho đơn thức
- Chia đa thức cho đa thức một biến đã sắp xếp
- Công thức nhân đơn thức, đa thức với đa thức
- Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ
- Hằng đẳng thức số 1
Sách VietJack thi THPT quốc gia 2024 cho học sinh 2k6:
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
- Soạn Văn 12
- Soạn Văn 12 (bản ngắn nhất)
- Văn mẫu lớp 12
- Giải bài tập Toán 12
- Giải BT Toán 12 nâng cao (250 bài)
- Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 (100 đề)
- Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 (100 đề)
- Giải bài tập Vật lý 12
- Giải BT Vật Lí 12 nâng cao (360 bài)
- Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Vật Lý 12 (có đáp án)
- Bài tập trắc nghiệm Vật Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Lí (18 đề)
- Giải bài tập Hóa học 12
- Giải bài tập Hóa học 12 nâng cao
- Bài tập trắc nghiệm Hóa 12 (80 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Hóa (18 đề)
- Giải bài tập Sinh học 12
- Giải bài tập Sinh 12 (ngắn nhất)
- Chuyên đề Sinh học 12
- Đề kiểm tra Sinh 12 (có đáp án)(hay nhất)
- Ôn thi đại học môn Sinh (theo chuyên đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sinh (18 đề)
- Giải bài tập Địa Lí 12
- Giải bài tập Địa Lí 12 (ngắn nhất)
- Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 12
- Bài tập trắc nghiệm Địa Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Địa (20 đề)
- Giải bài tập Tiếng anh 12
- Giải bài tập Tiếng anh 12 thí điểm
- Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải tập bản đồ Lịch sử 12
- Bài tập trắc nghiệm Lịch Sử 12
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sử (20 đề)
- Giải bài tập Tin học 12
- Giải bài tập GDCD 12
- Giải bài tập GDCD 12 (ngắn nhất)
- Bài tập trắc nghiệm GDCD 12 (37 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn GDCD (20 đề)
- Giải bài tập Công nghệ 12