Chứng minh đẳng thức lượng giác (cách giải + bài tập)
Bài viết phương pháp giải bài tập Chứng minh đẳng thức lượng giác lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Chứng minh đẳng thức lượng giác.
Chứng minh đẳng thức lượng giác (cách giải + bài tập)
1. Phương pháp giải
• Để chứng minh đẳng thức lượng giác, ta sử dụng các hệ thức cơ bản để biến đổi vế này thành vế kia hoặc chứng minh hai vế cùng bằng một biểu thức nào đó hoặc chứng minh hệ thức cần chứng minh tương đương với một hệ thức luôn đúng đã biết.
• Một số tính chất thường dùng:
+) Dựa vào định nghĩa giá trị lượng giác của một góc α (0° ≤ α ≤ 180°).
+) Quan hệ giữa các giá trị lượng giác
- Của 2 góc phụ nhau:
Với mọi góc α thỏa mãn 0° ≤ α ≤ 180°, ta luôn có:
sin(90° – α) = cosα;
cos(90° – α) = sinα;
tan(90° – α) = cotα (α ≠ 90°);
cot(90° – α) = tanα (0° < α < 180°).
- Của 2 góc bù nhau:
Với mọi góc α thỏa mãn 0° ≤ α ≤ 180°, ta luôn có:
sin(180° – α) = sinα;
cos(180° – α) = – cosα;
tan(180° – α) = – tanα (α ≠ 90°);
cot(180° – α) = – cotα (0° < α < 180°).
+) Dựa vào tính chất của tổng ba góc của một tam giác bằng 180°.
+) Sử dụng các hệ thức
Với mọi góc α thỏa mãn 0° ≤ α ≤ 180°, ta đều có:
Chú ý: khai thác giải thiết và kết luận để tìm được các hệ thức thích hợp làm trung gian trong quá trình biến đổi.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho góc α thỏa mãn 0° ≤ α ≤ 180°. Chứng minh rằng
sin4 α − cos4 α = 2 sin2 α − 1.
Hướng dẫn giải:
Cách 1. Ta có
Do đó: sin4 α − cos4 α = sin4 α – (1 – 2sin2 α + sin4 α) = 2 sin2 α − 1.
Vậy ta được điều phải chứng minh.
Cách 2. Ta có sin4 α − sin4 α = (sin2 α + cos2 α)( sin2 α − cos2 α)
= 1. [sin2 α – (1 − sin2 α)] = 2 sin2 α − 1.
Vậy sin4 α − cos4 α = 2 sin2 α − 1.
Cách 3. Ta sử dụng phép biến đổi tương đương
sin4 α − cos4 α = 2 sin2 α − 1
⇔ sin4 α − 2 sin2 α + 1 − cos4 α = 0
⇔ (1 − sin2 α)2 − cos4 α = 0
⇔ cos4 α − cos4 α = 0 (luôn đúng).
Vậy đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: cosA = − cos(B + C).
Hướng dẫn giải:
Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác ABC, ta có = 180°.
Suy ra: 180° − = + .
Do đó: cos(180° – A) = cos(B + C).
Lại có: cos(180° – A) = – cosA (quan hệ giữa hai góc bù nhau).
Khi đó ta có: – cosA = cos(B + C) ⇔ cosA = – cos(B + C).
Vậy đẳng thức được chứng minh.
3. Bài tập tự luyện
Bài 1. Chọn hệ thức đúng được suy ra từ hệ thức cos2 α + sin2 α = 1 với 0° ≤ α ≤ 180°?
A. ;
B. ;
C. ;
D. .
Bài 2. Cho tam giác ABC, tìm đẳng thức sai trong các đẳng thức sau ?
A. sin A = sin (B + C);
B. tan A = tan (B + C);
C. ;
D. tan A = − tan (B + C).
Bài 3. Cho góc x với 0° < x < 90°. Trong các đẳng thức dưới đây, đẳng thức đúng là?
A. ;
B. ;
C. ;
D. .
Bài 4. Với 0° ≤ x ≤ 180°, biểu thức (sin x + cos x)2 bằng:
A. 1;
B. 1 + 2sin x. cos x;
C. 1 – 2sin x. cos x;
D. 0.
Bài 5. Cho 0° ≤ x ≤ 180°. Tìm đẳng thức đúng trong các đẳng thức dưới đây?
A. sin4 x + cos4 x = 1;
B. sin4 x + cos4 x = sin2 x – cos2 x;
C. sin4 x + cos4 x = 1 – 2 sin2 x. cos2 x;
D. sin4 x + cos4 x = 1 + 2 sin2 x. cos2 x.
Bài 6. Cho 0° ≤ x ≤ 180°. Giá trị của biểu thức (sin2 x + cos2 x)2 + (sin2 x − cos2 x)2
A. không phụ thuộc vào biến x;
B. phụ thuộc vào biến x;
C. bằng 0;
D. bằng 1.
Bài 7. Biểu thức 1 − (sin6 x + cos6 x) bằng biểu thức nào sau đây:
A. 3sin2 x . cos 2 x;
B. sin2x;
C. 1 − 3sin2 x . cos 2 x;
D. 2 + sin2x.
Bài 8. Tìm đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau đây:
A. sin 20° = sin 160°;
B. cos 20° = cos 160°;
C. tan 20° = tan 160°;
D. cot 20° = cot 160°.
Bài 9. Biểu thức bằng biểu thức nào sau đây?
A. 3 – tan2x;
B. 3 + tan2x;
C. tan2x;
D. 4 + tanx.
Bài 10. Cho (0° < α < 90°), khi đó sin (α + 90°) bằng
A. sin α;
B. cos α;
C. – sin α;
D. – cos α.
Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 hay, chi tiết khác:
Sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác của một góc
Cách tính bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác
Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:
- (mới) Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
- (mới) Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
- (mới) Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều
Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Lớp 10 - Kết nối tri thức
- Soạn văn lớp 10 (hay nhất) - KNTT
- Giải Toán lớp 10 - KNTT
- Giải Tiếng Anh lớp 10 - KNTT
- Giải Vật lí lớp 10 - KNTT
- Giải Giáo dục Kinh tế và Pháp luật lớp 10 - KNTT
- Giải Sinh học lớp 10 - KNTT
- Giải Địa lí lớp 10 - KNTT
- Giải Lịch sử lớp 10 - KNTT
- Giải Công nghệ lớp 10 - KNTT
- Giải Hoạt động trải nghiệm lớp 10 - KNTT
- Giải Giáo dục quốc phòng lớp 10 - KNTT
- Giải Tin học lớp 10 - KNTT
- Lớp 10 - Chân trời sáng tạo
- Soạn văn lớp 10 (hay nhất) - CTST
- Giải Toán lớp 10 - CTST
- Giải Tiếng Anh lớp 10 - CTST
- Giải Vật lí lớp 10 - CTST
- Giải Hóa học lớp 10 - CTST
- Giải Sinh học lớp 10 - CTST
- Giải Giáo dục Kinh tế và Pháp luật lớp 10 - CTST
- Giải Địa lí lớp 10 - CTST
- Giải Lịch sử lớp 10 - CTST
- Giải Hoạt động trải nghiệm lớp 10 - CTST
- Lớp 10 - Cánh diều
- Soạn văn lớp 10 (hay nhất) - CD
- Giải Toán lớp 10 - CD
- Giải Tiếng Anh lớp 10 - CD
- Giải Vật lí lớp 10 - CD
- Giải Hóa học lớp 10 - CD
- Giải Sinh học lớp 10 - CD
- Giải Giáo dục Kinh tế và Pháp luật lớp 10 - CD
- Giải Địa lí lớp 10 - CD
- Giải Lịch sử lớp 10 - CD
- Giải Giáo dục quốc phòng lớp 10 - CD
- Giải Tin học lớp 10 - CD