Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc.

Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc lớp 11 (chi tiết nhất)

1. Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc

+ Với hai mặt phẳng vuông góc với nhau, bất kì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này mà vuông góc với giao tuyến thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

+ Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.

2. Ví dụ minh họa về tính chất của hai mặt phẳng vuông góc

Ví dụ 1. Chọn các khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

a) Cho a ⊥ (P), mặt phẳng (Q) chứa a thì (P) ⊥ (Q).

b) Hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) cùng vuông góc với mặt phẳng (R) thì (P) // (Q).

c) Nếu (P) ⊥ (Q) thì mọi đường thẳng nằm trong (P) đều vuông góc với (Q).

d) Hai mặt phẳng phân biệt (P), (Q) cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng (R) thì giao tuyến của (P) và (Q) vuông góc với (R).

Hướng dẫn giải

Các khẳng định đúng là: a, d.

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, $SA=SB=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, AB = a. Gọi H là trung điểm của AB. Chứng minh rằng:

a) SH ⊥ (ABCD).

b) (SAD) ⊥ (SBC).

Hướng dẫn giải

a) Vì tam giác SAB cân tại S nên SH là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Do đó, SH ⊥ AB.

Mà (SAB) ⊥ (ABCD), AB = (SAB) ∩ (ABCD) nên SH ⊥ (ABCD).

b) Tam giác SAB có: SA² + SB² = AB² nên tam giác SAB vuông tại S.

Do đó, SA ⊥ SB (1).

Vì AD ⊥ AB, SH ⊥ AD (do SH ⊥ (ABCD)).

Do đó, AD ⊥ (SAB). Suy ra AD ⊥ SB (2).

Từ (1) và (2) ta có: SB ⊥ (SAD). Mà SB ⸦ (SBC). Do đó, (SAD) ⊥ (SBC).

Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD có hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) cùng vuông góc với mặt phẳng (BCD). Kẻ các đường cao BE và DF của tam giác BCD. Kẻ đường cao KD của tam giác ACD. Chứng minh rằng:

a) AB ⊥ (BCD).

b) (ADC) ⊥ (ABE).

c) (ADC) ⊥ (DFK).

Hướng dẫn giải

a) Vì (ABD) ⊥ (BCD), (ABC) ⊥ (BCD), AB là giao tuyến của (ABD) và (ABC) nên AB ⊥ (BCD).

b) Vì AB ⊥ DC (vì AB ⊥ (BCD)), BE ⊥ DC nên CD ⊥ (ABE).

Mà CD ⸦ (ADC) nên (ADC) ⊥ (ABE).

c) Vì AB ⊥ DF (vì AB ⊥ (BCD)), BC ⊥ DF nên DF ⊥ (ABC) nên DF ⊥ AC.

Lại có: KD ⊥ AC nên AC ⊥ (KFD). Mà AC ⸦ (ADC) nên (ADC) ⊥ (DFK).

3. Bài tập về tính chất của hai mặt phẳng vuông góc

Bài 1. Điền vào … để được câu đúng:

a) Cho hai mặt phẳng vuông góc. Một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này vuông góc với … thì vuông góc với mặt phẳng kia.

b) Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng … với mặt phẳng thứ ba đó.

c) Nếu hai mặt phẳng song song với nhau thì qua một điểm không thuộc hai mặt phẳng có … mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng đã cho.

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt đáy. Chứng minh rằng:

a) SO ⊥ (ABCD).

b) Biết rằng SO = a, AD = 2a. Tính các cạnh bên của hình chóp.

Bài 3. Cho tứ diện ABCD có hai tam giác DBC và ABC nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tam giác DBC đều và tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AB.

a) Chứng minh rằng (DAM) ⊥ (ABC).

b) Tính DM, DA.

c) Chứng minh rằng (DMN) ⊥ (DAB).

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông. Tam giác SAD cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC, CD. Chứng minh rằng:

a) (SAD) ⊥ (SAB).

b) (SBP) ⊥ (AMN).

Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, hai mặt phẳng (SAC) và (SAB) cùng vuông góc với (ABC). Kẻ AH vuông góc với SB tại H, AK vuông góc với SC tại K. Gọi N là giao điểm của HK và (ABC). Chứng minh rằng:

a) (AHK) ⊥ (SBC).

b) Tam giác NAC vuông.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Điều kiện vuông góc của hai mặt phẳng

• Hình chóp đều là gì

• Hình chóp cụt đều là gì

• Biến cố hợp là gì

• Biến cố giao là gì

• Công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc

---