Cực trị của hàm số là gì lớp 12 (chi tiết nhất)

Bài viết Cực trị của hàm số là gì lớp 12 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cực trị của hàm số là gì.

Cực trị của hàm số là gì lớp 12 (chi tiết nhất)

1. Khái niệm cực trị của hàm số

Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (a có thể là –∞, b có thể là +∞) và điểm x₀ ∈(a; b).

+ Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x₀) với mọi x ∈ (x₀ – h; x₀ + h) ⸦ (a; b) và x ≠ x₀ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x₀.

+ Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x₀) với mọi x ∈ (x₀ – h; x₀ + h) ⸦ (a; b) và x ≠ x₀ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x₀.

Chú ý:

• Nếu hàm số y = f (x) đạt cực đại tại x₀ thì x₀ được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x). Khi đó, f(x₀) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f(x) và kí hiệu là f_CĐ hay y_CĐ. Điểm M₀(x₀; f(x₀)) được gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

• Nếu hàm số y = f (x) đạt cực tiểu tại x₀ thì x₀ được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x). Khi đó, f(x₀) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f(x) và kí hiệu là f_CT hay y_CT. Điểm M₀(x₀; f(x₀)) được gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

• Các điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số.

2. Ví dụ minh họa về cực trị của hàm số

Ví dụ 1. Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b).

Trong các phát biểu sau, có bao nhiêu phát biểu đúng?

+ Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x₀) với mọi x ∈ (x₀ – h; x₀ + h) ⸦ (a; b) và x ≠ x₀ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x₀.

+ Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) = f(x₀) với mọi x ∈ (x₀ – h; x₀ + h) ⸦ (a; b) và x ≠ x₀ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x₀.

+ Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x₀) với mọi x ∈ (x₀ – h; x₀ + h) ⸦ (a; b) và x ≠ x₀ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x₀.

+ Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x₀) với mọi x ∈ (x₀ – h; x₀ + h) ⸦ (a; b) và x ≠ x₀ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x₀.

Hướng dẫn giải

Có hai phát biểu đúng là:

+ Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x₀) với mọi x ∈ (x₀ – h; x₀ + h) ⸦ (a; b) và x ≠ x₀ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x₀.

+ Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x₀) với mọi x ∈ (x₀ – h; x₀ + h) ⸦ (a; b) và x ≠ x₀ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x₀.

Ví dụ 2. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như sau:

Hãy tìm các cực trị của hàm số trên.

Hướng dẫn giải

Từ đồ thị hàm số ta thấy:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và y_CT = –4.

Hàm số đạt cực đại tại x = 2 và y_CĐ = 0.

Ví dụ 3. Cho hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{\left|x\right|}$ . Chứng minh rằng:

a) Hàm số f(x) không có đạo hàm tại x = 0.

b) Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

Vì: $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{x}}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty$.

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\sqrt{-x}}{x}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{-1}{\sqrt{-x}}=-\infty$.

Do đó, $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}\ne \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}$ nên f(x) không có đạo hàm tại x = 0.

b) Ta có hàm số f(x) xác định và liên tục trên $ℝ$ và f(0) = 0.

Vì $f\left(x\right)=\sqrt{\left|x\right|}>f\left(0\right)$ với mọi x ≠ 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.

3. Bài tập về cực trị của hàm số

Bài 1. Một hàm số có bảng biến thiên như sau:

Tìm các điểm cực trị của hàm số trên.

Bài 2. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như sau:

Chỉ ra các điểm cực trị của hàm số trên.

Bài 3. Xét hàm số y = f(x) trên khoảng (–2; 4), ta có bảng biến thiên như sau:

Từ bảng biến thiên trên, hãy cho biết hàm số y = f(x) có x₀ = 0 là điểm cực đại hay cực tiểu? Tìm giá trị cực trị tương ứng đó.

Bài 4. Cho hàm số $y=\left|x-1\right|$.

a) Hàm số trên có đạo hàm tại x = 1 không? Vì sao?

b) Hàm số trên có đạt cực trị tại x = 1 không? Vì sao?

Bài 5. Chứng minh rằng hàm số $y=\sqrt[7]{x^6}$ không có đạo hàm tại x = 0 nhưng đạt cực tiểu tại x = 0.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 sách mới hay, chi tiết khác:

• Tính đơn điệu của hàm số là gì

• Giá trị lớn nhất của hàm số là gì

• Giá trị nhỏ nhất của hàm số là gì

• Cách tìm GTLN – GTNN của hàm số

• Đường tiệm cận ngang là gì

• Đường tiệm cận đứng là gì

---