Tổng của hai vectơ trong không gian lớp 12 (chi tiết nhất)

Bài viết Tổng của hai vectơ trong không gian lớp 12 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tổng của hai vectơ trong không gian.

Tổng của hai vectơ trong không gian lớp 12 (chi tiết nhất)

1. Tổng của hai vectơ trong không gian

Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. Lấy một điểm A bất kì và các điểm B, C sao cho $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$. Khi đó, vectơ $\overrightarrow{AC}$ được gọi là tổng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$, kí hiệu là $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$.

Nhận xét: Quy tắc ba điểm và quy tắc hình bình hành trong mặt phẳng vẫn đúng trong không gian:

+ Nếu A, B, C là ba điểm bất kì thì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

+ Nếu ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$.

Chú ý: Tương tự như phép cộng vectơ trong mặt phẳng, phép cộng vectơ trong không gian, có các tính chất sau:

+ Tính chất giao hoán: Nếu $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ bất kì thì $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$.

+ Tính chất kết hợp: Nếu $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ là ba vectơ bất kì thì $\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)$.

+ Tính chất cộng với vectơ $\overrightarrow{0}$: Nếu $\overrightarrow{a}$ là một vectơ bất kì thì $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}$.

2. Ví dụ minh họa về tổng của hai vectơ trong không gian

Ví dụ 1. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có BC = a, AB = 2a. Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.

Hướng dẫn giải

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình chữ nhật nên ABCD là hình chữ nhật.

Do đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B có:

AC² = AB² + BC² = a² + (2a)² = 5a² nên $AC=a\sqrt{5}$.

Do đó: $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=a\sqrt{5}$.

Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, M’ lần lượt là trung điểm của BC và B’C’. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AC}$.

b) $\overrightarrow{AM\text{'}}=\overrightarrow{BB\text{'}}+\overrightarrow{AM}$.

Hướng dẫn giải

a) Vì M là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{MC}$.

Ta có: $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AC}$.

b) Vì BCC’B’ là hình bình hành, M, M’ lần lượt là trung điểm của BC và B’C’ nên MM’ // BB’ và MM’ = BB’. Mà BB’ // AA’ và BB’ = AA’ nên MM’ // AA’, MM’ = AA’. Do đó, tứ giác AMM’A’ là hình bình hành.

Suy ra $\overrightarrow{AM\text{'}}=\overrightarrow{AA\text{'}}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BB\text{'}}+\overrightarrow{AM}$.

Ví dụ 3. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’.

Chứng minh rằng $\overrightarrow{CC\text{'}}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DB\text{'}}$.

Hướng dẫn giải

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật nên $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{D\text{'}B\text{'}},\overrightarrow{CC\text{'}}=\overrightarrow{DD\text{'}}$.

Do đó, $\overrightarrow{CC\text{'}}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DD\text{'}}+\overrightarrow{D\text{'}B\text{'}}=\overrightarrow{DB\text{'}}$.

3. Bài tập về tổng của hai vectơ trong không gian

Bài 1. Điền vào … để được câu đúng:

a) Trong không gian, với ba điểm M, O, N bất kì ta có: $\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{\mathrm{...}}=\overrightarrow{MN}$.

b) Trong lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có: $\overrightarrow{A\mathrm{...}}=\overrightarrow{AA\text{'}}+\overrightarrow{AC}$.

Bài 2. Cho hình hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm H. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{BH}$.

b) $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{SD}$.

Bài 3. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N, M’, N’ lần lượt là trung điểm của AB, DC, A’B’, C’D’. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{MB\text{'}}+\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC\text{'}}$ và $\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CN}$.

Bài 4. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA vuông góc với đáy, đáy là tam giác đều cạnh a và SA = 3a. Tính |$\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AB}$|.

Bài 5. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a, SO vuông góc với đáy, $SO=a\sqrt{2}$. Tính:

a) |$\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AC}$|.

b) |$\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{OD}$|.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 sách mới hay, chi tiết khác:

• Hai vectơ cùng phương trong không gian là gì

• Tổng của hai vectơ trong không gian

• Quy tắc hình hộp là gì

• Hiệu của hai vectơ trong không gian

• Hệ trục tọa độ trong không gian là gì

• Tọa độ của điểm trong không gian là gì

---