Vận dụng phương trình đường thẳng vào giải quyết bài toán liên quan đến thực tế lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Vận dụng phương trình đường thẳng vào giải quyết bài toán liên quan đến thực tế lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Vận dụng phương trình đường thẳng vào giải quyết bài toán liên quan đến thực tế.

Vận dụng phương trình đường thẳng vào giải quyết bài toán liên quan đến thực tế lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Vận dụng linh hoạt kiến thức về phương trình đường thẳng vào giải quyết bài toán liên quan đến thực tiễn.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong một khu du lịch, người ta cho du khách trải nghiệm thiên nhiên bằng cách đu theo đường trượt zipline từ vị trí A cao 15 m của tháp 1 này sang vị trí B cao 10 m của tháp 2 trong khung cảnh tuyệt đẹp xung quanh. Với hệ trục tọa độ Oxyz cho trước (đơn vị: mét), tọa độ của A(3; 12,5; 15) và B(21; 27,5; 10).

a) Viết phương trình đường thẳng chứa đường trượt zipline này.

b) Xác định tọa độ của du khách khi ở độ cao 12 mét.

Hướng dẫn giải:

a) Phương trình đường zipline đi qua điểm A(3; 12,5; 15) nhận $\overrightarrow{AB}=\left(18;15;-5\right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là $\left\{\begin{array}{l}x=3+18t\\ y=12,5+15t\\ z=15-5t\end{array}\right.$.

b) Khi du khách ở độ cao 12 mét => z = 12 => 15 – 5t = 12 => $t=\frac{3}{5}$.

Thay $t=\frac{3}{5}$ vào phương trình đường thẳng AB ta được $\left\{\begin{array}{l}x=13,8\\ y=21,5\\ z=12\end{array}\right.$.

Vậy tọa độ của du khách khi ở độ cao 12 mét là C(13,8; 21,5; 12).

Ví dụ 2. Khi gắn hệ tọa độ Oxyz vào một sân bay, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt sân bay. Một máy bay bay theo đường thẳng từ vị trí A(1; −5; 7) đến vị trí B(6; 5; 4) và hạ cánh tại vị trí M. Tìm tọa độ điểm M.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}=\left(5;10;-3\right)$.

Phương trình đường thẳng AB là $\frac{x-1}{5}=\frac{y+5}{10}=\frac{z-7}{-3}$.

Vì M $\in$ AB => M(1 + 5t; −5 + 10t; 7 – 3t).

Mặt khác M $\in$(Oxy) nên 7 – 3t = 0 <=> $t=\frac{7}{3}$. Do đó $M\left(\frac{38}{3};\frac{55}{3};0\right)$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Một phần mềm mô phỏng vận động viên đang tập bắn súng trong không gian Oxyz. Cho biết trục d của nòng súng có phương trình $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z-3}{-5}$ và hồng tâm A(8; −19; 6m + 4). Hỏi m bằng bao nhiêu để vận  động viên đó bắn trúng hồng tâm.

A. m = 6;

B. m = −6;

C. m = 3;

D. m = −3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Để vận động viên đó bắn trúng hồng tâm thì trục d phải đi qua hồng tâm.

Thay điểm A(8; −19; 6m + 4) vào phương trình trục d ta được:

$\frac{8-1}{1}=\frac{-19-2}{-3}=\frac{6m+4-3}{-5}$<=> 6m = −36 <=> m = −6.

Bài 2. Trong không gian Oxyz, một cabin cáp treo ở Bà Nà Hill xuất phát từ điểm A(−2; 1; 5) và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(0;-2;6\right)$ với tốc độ là 4 m/s (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Giả sử sau 5 giây kể từ lúc xuất phát, cabin đến điểm M. Gọi tọa độ M(a; b; c). Tính a + 3b + c.

A. 6;

B. −6;

C. 3;

D. −3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Phương trình tham số của đường cáp là $d:\left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=1-2k\\ z=5+6k\end{array}\right.$.

Sau 5 giây kể từ lúc xuất phát, cabin đến điểm M thì AM = 4.5 = 20 (m).

Vì M $\in$ d => M(−2; 1 – 2k; 5 + 6k) nên suy ra $\overrightarrow{AM}=\left(0;-2k;6k\right)$.

Do 2 vectơ $\overrightarrow{AM};\overrightarrow{u}$ cùng hướng nên k > 0.

Mà AM = 20 <=> $\sqrt{0^2+4k^2+36k^2}=20$ <=> 40k² = 400 $\iff k=\pm \sqrt{10}$.

Vì k > 0 => $k=\sqrt{10}$.

Vậy tọa độ $M\left(-2;1-2\sqrt{10};5+6\sqrt{10}\right)$.

Khi đó a + 3b + c = $-2+3\left(1-2\sqrt{10}\right)+5+6\sqrt{10}=6$.

Bài 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, một Cabin cáp treo xuất phát từ điểm A(10; 3; 0) kết thúc tại điểm B có hoành độ x_B = 550 chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(2;-2;1\right)$. Tính độ dài đường cáp AB.

A. 840;

B. 830;

C. 820;

D. 810.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng AB đi qua điểm A(10; 3; 0) và nhận $\overrightarrow{u}=\left(2;-2;1\right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là $\frac{x-10}{2}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z}{1}$.

Ta có $B\left(550;y_B;z_B\right)$ nằm trên đường thẳng AB.

Theo giải thiết ta có x_B = 550 nên $\frac{550-10}{2}=\frac{y_B-3}{-2}=\frac{z_B}{1}$$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{y}_B=-537\\ z_B=270\end{array}\right.$.

Vậy B(550; −537; 270).

Do đó $AB=\sqrt{{\left(550-10\right)}^2+{\left(-537-3\right)}^2+{\left(270-0\right)}^2}=810$.

Bài 4. Trong không gian Oxyz, một quả tên lửa được phóng ra từ bệ phóng đặt tại điểm A(2; 1; 3) và trong 5 giây, tên lửa chuyển động với vận tốc không đổi, vận tốc (trên giây) là . Mục tiêu nào sau đây nằm trên quỹ đạo chuyển động của tên lửa?

A. M(4; 5; 8);

B. N(4; 5; −8);

C. P(2; 1; 0);

D. Q(−4; 5; 2).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Phương trình quỹ đạo chuyển động của tên lửa là $d:\left\{\begin{array}{l}x=2+2t\\ y=1+4t\\ z=3+5t\end{array}\right.$.

Vì M(4; 5; 8) thuộc phương trình đường thẳng nên mục tiêu nằm trên quỹ đạo chuyển động của tên lửa.

Bài 5. Anh Hùng là một nhiếp ảnh gia chuyên săn ảnh chim hoang dã. Giả sử với hệ trục Oxyz cho trước, anh Hùng đang ngắm và ống kính ở vị trí A có tọa độ (200; 685; 436) thì có một con gà lôi tía xuất hiện ở vị trí B có tọa độ (640; 550; 474). Nếu một quả đồi có tọa độ đỉnh C là (420; 617,5; 450). Hỏi C có thuộc đường ngắm AB không? Anh Hùng có ngắm thấy con gà lôi tía này không?

A. Điểm C không thuộc, anh Hùng nhìn thấy con gà;

B. Điểm C thuộc, anh Hùng nhìn thấy con gà;

C. Điểm C không thuộc, anh Hùng không nhìn thấy con gà;

D. Điểm C thuộc, anh Hùng nhìn thấy con gà.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng AB đi qua điểm A(200; 685; 436) và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=\left(440;-135;38\right)$ nên có phương trình tham số là $\left\{\begin{array}{l}x=200+440t\\ y=685-135t\\ z=436+38t\end{array}\right.$.

Thay tọa độ điểm C vào phương trình đường thẳng AB ta được

$\left\{\begin{array}{l}420=200+440t\\ 617,5=685-135t\\ 450=436+38t\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}t=\frac{1}{2}\\ t=\frac{1}{2}\\ t=\frac{7}{19}\end{array}\right.$.

Hệ này vô nghiệm nên điểm C không thuộc đường ngắm AB, anh Hùng ngắm thấy con gà lôi tía này.

Bài 6. Trong không gian Oxyz, một viên đạn được bắn ra từ điểm A(2; 1; −1) và trong 3 giây đầu đạn đi với vận tốc không đổi, vectơ vận tốc (trên giây) là $\overrightarrow{v}=\left(1;3;-2\right)$. Hỏi viên đạn bắn trúng mục tiêu nằm ở điểm nào sau đây?

A. M(4; 0; −2);

B. N(−1; 1; −3);

C. P(4; 7; −5);

D. Q(3; 9; −6).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Phương trình mô tả quỹ đạo chuyển động của viên đạn là $\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1+3t\\ z=-1-2t\end{array}\right.$.

Lần lượt thay tọa độ các điểm vào phương trình quỹ đạo chuyển động của viên đạn ta thấy tọa độ các điểm M, N, Q không thỏa mãn phương trình. Do đó viên đạn không bắn trúng mục tiêu ở các điểm này.

Thay tọa độ điểm P vào phương trình mô tả quỹ đạo chuyển động của viên đạn ta có:

$\left\{\begin{array}{l}4=2+t\\ 7=1+3t\\ -5=-1-2t\end{array}\right.\iff t=2$. Vậy viên đạn bắn trúng mục tiêu đặt ở điểm P.

Bài 7. Trên phần mềm mô phỏng 3D một máy khoan trong không gian Oxyz cho biết phương trình trục d của mũi khoan và một đường rãnh d' trên vật cần khoan (tham khảo hình) lần lượt là $d:\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\\ z=3t\end{array}\right.$ và $d^{\text{'}}:\left\{\begin{array}{l}x=1+4k\\ y=2+2k\\ z=6\end{array}\right.$. Tọa độ giao điểm của d và d' là M(a; b; c). Tính S = a + b + c.

A. 3;

B. 6;

C. 9;

D. 10.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Vì M là giao điểm của d và d' nên ta có $d^{\text{'}}:\left\{\begin{array}{l}1=1+4k\\ 2=2+2k\\ 3t=6\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}t=2\\ k=0\end{array}\right.$=> M(1; 2; 6).

Vậy S = 1 + 2 + 6 = 9.

Bài 8. Trong không gian Oxyz, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm A(10; 0; 3) và chuyển động theo đường cáp có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(2;2;1\right)$. Hai cột trục cáp treo đặt tại điểm B, C biết x_B = 20; y_C = 120. Thời gian cabin đi từ điểm B đến điểm C là 55 giây. Hỏi vận tốc của cabin bằng bao nhiêu m/s?

A. 3;

B. 6;

C. 9;

D. 10.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Phương trình tham số của đường cáp treo là $d:\left\{\begin{array}{l}x=10+2t\\ y=2t\\ z=3+t\end{array}\right.$.

Với x_B = 20 => B(20; 10; 8); y_C = 120 => C(130; 120; 63).

Do đó $BC=\sqrt{{110}^2+{110}^2+{55}^2}=165$.

Vậy vận tốc của cabin đi là v = 165 : 55 = 3 (m/s).

Bài 9. Trong không gian Oxyz một cabin cáp trên được đặt xuất phát tại điểm A(3; 4; 20) và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(1;2;2\right)$ với tốc độ 5 m/s (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Sau 30 giây di chuyển cáp treo dừng lại tại điểm M(a; b; c). Tính a + b + c.

A. 53;

B. 104;

C. 120;

D. 277.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Phương trình tham số của đường cáp là $\left\{\begin{array}{l}x=3+t\\ y=4+2t\\ z=20+2t\end{array}\right.$.

Sau 30 giây cáp treo đến điểm M(3 + t; 4 + 2t; 20 + 2t).

Ta có $\overrightarrow{AM}=\left(t;2t;2t\right)$ cùng hướng với $\overrightarrow{u}$ và AM = 5.30 = 150 nên ta có:

$\left\{\begin{array}{l}t>0\\ \sqrt{t^2+4t^2+4t^2}=150\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}t>0\\ 3t=150\end{array}\right.$$\iff t=50$.

Do đó M(53; 104; 120). Suy ra a + b + c = 277.

Bài 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm A(10; 3; 0) và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(2;-2;1\right)$ với tốc độ là 4,5 m/s. Sau thời gian 180 giây, Cabin dừng ở điểm B. Tung độ của điểm B là

A. 550;

B. 270;

C. 207;

D. −537.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Phương trình tham số của đường cáp là $\left\{\begin{array}{l}x=10+2t\\ y=3-2t\\ z=t\end{array}\right.$.

Sau 180 giây, ta có AB = 4,5.180 = 810 mét.

Gọi B(10 + 2t; 3 – 2t; t).

Ta có AB = 810 $\iff \sqrt{4t^2+4t^2+t^2}=810\iff 3t=810\iff t=270$.

Tung độ của điểm B là 3 – 2.270 = −537.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Vị trí tương đối của hai đường thẳng
• Góc giữa hai đường thẳng
• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
• Góc giữa hai mặt phẳng
• Vận dụng công thức tính góc trong không gian vào giải quyết bài toán liên quan thực tế
• Xác định các yếu tố cơ bản của mặt cầu trong không gian

---