Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có một vectơ pháp tuyến lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có một vectơ pháp tuyến lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có một vectơ pháp tuyến.

Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có một vectơ pháp tuyến lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(x₀; y₀; z₀) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right)$ có dạng: A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0

⇔ Ax + By + Cz – Ax₀ – By₀ – Cz₀ = 0.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2; 1; −3) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(3;-2;6\right)$ .

Hướng dẫn giải:

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2; 1; −3) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(3;-2;6\right)$ có dạng: 3(x – 2) – 2(y – 1) + 6(z + 3) = 0 ⇔ 3x – 2y + 6z + 14 = 0.

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm B(2; −8; −5) và nhận vectơ $\overrightarrow{n}=\left(-2;2;1\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Hướng dẫn giải:

Phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm B(2; −8; −5) và nhận vectơ $\overrightarrow{n}=\left(-2;2;1\right)$ làm vectơ pháp tuyến có dạng: −2(x – 2) + 2(y + 8) + (z + 5) = 0 ⇔ −2x + 2y + z + 25 = 0.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm A(2; −1; 3) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(2;3;-1\right)$ là

A. (α): 2x + 3y – z – 2 = 0;

B. (α): 2x + 3y – z + 2 = 0;

C. (α): 2x – y + 3z – 2 = 0;

D. (α): 2x – y + 3z + 2 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng: 2(x – 2) + 3(y + 1) – 1(z – 3) = 0

⇔ 2x + 3y – z + 2 = 0.

Bài 2. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua A(1; −1; 2) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(4;2;-6\right)$ là

A. (α): 4x + 2y – 6z + 5 = 0;

B. (α): 2x + y – 3z + 5 = 0;

C. (α): 2x + y − 3z + 2 = 0;

D. (α): 2x + y − 3z − 5 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng: 4(x – 1) + 2(y + 1) – 6(z – 2) = 0

⇔ 2x + y – 3z + 5 = 0.

Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1; 2; −3) và có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;-2;3\right)$ .

A. x − 2y + 3z + 12 = 0;

B. x − 2y − 3z − 6 = 0;

C. x − 2y + 3z − 12 = 0;

D. x −2y − 3z + 6 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng cần tìm có dạng (x – 1) – 2(y – 2) + 3(z + 3) = 0 ⇔ x – 2y + 3z + 12 = 0.

Bài 4. Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng đi qua điểm A(3; 0; −1) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(4;-2;-3\right)$ là

A. 4x – 2y + 3z – 9 = 0;

B. 4x – 2y – 3z – 15 = 0;

C. 3x – z – 15 = 0;

D. 4x – 2y – 3z + 15 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng: 4(x – 3) – 2y – 3(z + 1) = 0

⇔ 4x – 2y – 3z – 15 = 0.

Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua A(−1; 1; −2) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;-2;-2\right)$ là

A. x – 2y − 2z – 1 = 0;

B. −x + y – 2z – 1 = 0;

C. x – 2y – 2z + 7 = 0;

D. −x + y – 2z + 1 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng: (x + 1) – 2(y – 1) – 2(z + 2) = 0

⇔ x – 2y – 2z – 1 = 0.

Bài 6. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(4; −4; 5) và nhận vectơ $\overrightarrow{n}=\left(-5;-7;4\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

A. −5x – 7y + 4z – 28 = 0;

B. 4x – 4y + 5z – 28 = 0;

C. −5x – 7y + 4z + 28 = 0;

D. −5x – 7y + 4z – 26 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng: −5(x – 4) – 7(y + 4) + 4(z – 5) = 0

⇔ −5x – 7y + 4z – 28 = 0.

Bài 7. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm C(4; −7; 0) và nhận vectơ $\overrightarrow{n}=\left(-1;-3;-5\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

A. –x – 3y – 5z – 14 = 0;

B. –x – 3y – 5z – 17 = 0;

C. 4x – 7y – 17 = 0;

D. −x – 3y – 5z + 17 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng: −(x – 4) − 3(y + 7) – 5z = 0

⇔ −x −3y – 5z – 17 = 0.

Bài 8. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (β) đi qua điểm I(8; 6; 2) và nhận vectơ $\overrightarrow{MC}$ làm vectơ pháp tuyến với M(−1; 7; −1) và C(−4; 11; 5).

A. –3x + 4y + 6z + 12 = 0;

B. –3x + 4y + 6z – 10 = 0;

C. −3x + 4y + 6z – 12 = 0;

D. 8x + 6y + 2z − 12 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow{MC}=\left(-3;4;6\right)$ .

Phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng: −3(x – 8) + 4(y – 6) + 6(z – 2) = 0

⇔ −3x + 4y + 6z −12 = 0.

Bài 9. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm B(2; −8; −5) và nhận vectơ $\overrightarrow{n}=\left(-2;2;1\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

A. –2x + 2y + z + 25 = 0;

B. 2x – 8y – 5z + 25 = 0;

C. −2x + 2y + z – 25 = 0;

D. −2x + 2y + z + 26 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng (α) có phương trình là:

−2(x – 2) + 2(y + 8) + 1(z + 5) = 0 ⇔–2x + 2y + z + 25 = 0.

Bài 10. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(−3; 5; 0) và $\overrightarrow{n}=\left(0;1;-2\right)$ . Mặt phẳng qua A nhận $\overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến có phương trình là:

A. –3x + 5y − 5 = 0;

B. y – 2z – 5 = 0;

C. −3x + 5y + 5 = 0;

D. y – 2z + 5 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng: (y – 5) – 2z = 0 ⇔ y – 2z – 5 = 0.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Xác định các yếu tố cơ bản liên quan đến mặt phẳng (vectơ pháp tuyến, điểm thuộc, không thuộc mặt phẳng)
• Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có cặp vectơ chỉ phương
• Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng
• Viết phương trình mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng
• Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm kèm điều kiện song song với mặt phẳng khác
• Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

---