13 Bài tập Các phép biến đổi lượng giác (có đáp án) - Cánh diều Trắc nghiệm Toán 11

Với 13 bài tập trắc nghiệm Các phép biến đổi lượng giác Toán lớp 11 có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ sách Cánh diều sẽ giúp học sinh ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 11.

13 Bài tập Các phép biến đổi lượng giác (có đáp án) - Cánh diều Trắc nghiệm Toán 11

TRẮC NGHIỆM ONLINE

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN

Câu 1. Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?

A. $\cos 6a={\cos }^{2}3a-{\sin }^{2}3a.$

B. $\cos 6a=1-2{\sin }^{2}3a.$

C. $\cos 6a=1-6{\sin }^{2}a.$

D. $\cos 6a=2{\cos }^{2}3a-1.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Áp dụng công thức 

$\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=1-2{\sin }^2\alpha$, ta được $\cos 6a={\cos }^{2}3a-{\sin }^{2}3a=2{\cos }^{2}3a-1=1-2{\sin }^{2}3a$

Câu 2. Nếu $\tan \left(a+b\right)=7,\tan \left(a-b\right)=4$ thì giá trị đúng của $\tan 2a$ là

A. $-\frac{11}{27}.$

B. $\frac{11}{27}$.

C. $-\frac{13}{27}.$

D. $\frac{13}{27}$.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có

$\tan 2a=\tan \left[\left(a+b\right)+\left(a-b\right)\right]=\frac{\tan \left(a+b\right)+\tan \left(a-b\right)}{1+\tan \left(a+b\right).\tan \left(a-b\right)}=\frac{7+4}{1-7.4}=-\frac{11}{27}.$

Câu 3. Đẳng thức nào sau đây đúng:

A. $\cot a+\cot b=\frac{\sin \left(b-a\right)}{\sin a.\sin b}.$

B. ${\cos }^{2}a=\frac{1}{2}\left(1+\cos 2a\right).$

C. $\sin \left(a+b\right)=\frac{1}{2}\sin 2\left(a+b\right).$

D. $\tan \left(a+b\right)=\frac{\sin \left(a+b\right)}{\cos a.\cos b}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Xét các đáp án:

- Đáp án A.

Ta có

$\cot a+\cot b=\frac{\cos a}{\sin a}+\frac{\cos b}{\sin b}=\frac{\cos a.\sin b+\sin a.\cos b}{\sin a.\sin b}=\frac{\sin \left(a+b\right)}{\sin a.\sin b}$

- Đáp án B.

Ta có $\cos 2a=2{\cos }^{2}a-1\iff {\cos }^{2}a=\frac{1}{2}\left(1+\cos 2a\right)$

Câu 4. Rút gọn $M=\sin \left(x-y\right)\cos y+\cos \left(x-y\right)\sin y.$

A. $M=\cos x.$

B. $M=\sin x.$

C. $M=\sin x\cos 2y.$

D. $M=\cos x\cos 2y.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Áp dụng công thức $sin\left(a+b\right)=\sin a\cos b+\sin b\cos a$, ta được

$M=\sin \left(x-y\right)\cos y+\cos \left(x-y\right)\sin y=\sin \left[\left(x-y\right)+y\right]=\sin x.$

Câu 5. Giá trị của biểu thức $\cos \frac{\pi }{30}\cos \frac{\pi }{5}+\sin \frac{\pi }{30}\sin \frac{\pi }{5}$ là

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}.$

B. $-\frac{\sqrt{3}}{2}.$

C. $\frac{\sqrt{3}}{4}.$

D. $\frac{1}{2}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có

$\cos \frac{\pi }{30}\cos \frac{\pi }{5}+\sin \frac{\pi }{30}\sin \frac{\pi }{5}=\cos \left(\frac{\pi }{30}-\frac{\pi }{5}\right)=\cos \left(-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Câu 6. Rút gọn biểu thức $M={\cos }^{4}15°-{\sin }^{4}15°.$

A. $M=1.$

B. $M=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

C. $M=\frac{1}{4}.$

D. $M=0.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có $M={\cos }^{4}15°-{\sin }^{4}15°={\left({\cos }^{2}15°\right)}^2-{\left({\sin }^{2}15°\right)}^2$

$=\left({\cos }^{2}15°-{\sin }^{2}15°\right)\left({\cos }^{2}15°+{\sin }^{2}15°\right)$

$={\cos }^{2}15°-{\sin }^{2}15°=\cos \left(2.15°\right)=\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Câu 7. Giá trị của biểu thức $P=\frac{\sin \frac{5\pi }{18}\cos \frac{\pi }{9}-\sin \frac{\pi }{9}\cos \frac{5\pi }{18}}{\cos \frac{\pi }{4}\cos \frac{\pi }{12}-\sin \frac{\pi }{4}\sin \frac{\pi }{12}}$ là

A. 1.

B. $\frac{1}{2}$.

C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Áp dụng công thức $\left\{\begin{array}{l}\sin a.\cos b-\cos a.\sin b=\sin \left(a-b\right)\\ \cos a.\cos b-\sin a.\sin b=\cos \left(a+b\right)\end{array}\right..$

Khi đó $\sin \frac{5\pi }{18}\cos \frac{\pi }{9}-\sin \frac{\pi }{9}\cos \frac{5\pi }{18}=\sin \left(\frac{5\pi }{18}-\frac{\pi }{9}\right)=\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}.$

Và $\cos \frac{\pi }{4}\cos \frac{\pi }{12}-\sin \frac{\pi }{4}\sin \frac{\pi }{12}=\cos \left(\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{12}\right)=\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}.$

Vậy $P=\frac{1}{2}:\frac{1}{2}=1.$

Câu 8. Giá trị nào sau đây của $x$ thỏa mãn $\sin 2x.\sin 3x=\cos 2x.\cos 3x$?

A. 18°.

B. 30°.

C. 36°.

D. 45°.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Áp dụng công thức $\cos a.\cos b-\sin a.\sin b=\cos \left(a+b\right)$, ta được

$\sin 2x.\sin 3x=\cos 2x.\cos 3x\iff \cos 2x.\cos 3x-\sin 2x.\sin 3x=0$

$\iff \cos 5x=0\iff 5x=\frac{\pi }{2}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{10}+k\frac{\pi }{5}.$

Câu 9. Trong $\Delta ABC$, nếu $\frac{\sin B}{\sin C}=2\cos A$ thì $\Delta ABC$ là tam giác có tính chất nào sau đây?

A. Cân tại B.

B. Cân tại A.

C. Cân tại C.

D. Vuông tại B.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có

$\frac{\sin B}{\sin C}=2\cos A\Rightarrow \sin B=2\sin C.\cos A.=\sin \left(C+A\right)+\sin \left(C-A\right)$

Mặt khác

$A+B+C=\pi \Rightarrow B=\pi -\left(A+C\right)\Rightarrow \sin B=\sin \left(A+C\right)$.

Do đó, ta được $\sin \left(C-A\right)=0\Rightarrow A=C$

Câu 10. Cho góc $\alpha$ thỏa mãn$\sin 2\alpha =-\frac{4}{5}$ và $\frac{3\pi }{4}<\alpha <\pi$. Tính $P=\sin \alpha -\cos \alpha$.

A. $P=\frac{3}{\sqrt{5}}.$

B. $P=-\frac{3}{\sqrt{5}}.$

C. $P=\frac{\sqrt{5}}{3}.$

D. $P=-\frac{\sqrt{5}}{3}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Vì $\frac{3\pi }{4}<\alpha <\pi$ suy ra $\left\{\begin{array}{l}\sin \alpha >0\\ \cos \alpha <0\end{array}\right.$nên $\sin \alpha -\cos \alpha >0$

Ta có ${\left(\sin \alpha -\cos \alpha \right)}^2=1-\sin 2\alpha =1+\frac{4}{5}=\frac{9}{5}$.

Suy ra $\sin \alpha -\cos \alpha =\pm \frac{3}{\sqrt{5}}$

Do $\sin \alpha -\cos \alpha >0$ nên $\sin \alpha -\cos \alpha =\frac{3}{\sqrt{5}}$. Vậy $P=\frac{3}{\sqrt{5}}.$

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI

Câu hỏi. Biết $\sin a=\frac{8}{17},\tan b=\frac{5}{12}$ và a, b là các góc nhọn.

a) $\tan a=\frac{8}{15}$.

b) $\sin \left(a-b\right)=\frac{21}{221}$.

c) $\cos \left(a+b\right)=\frac{14}{22}$.

d) $\tan \left(a+b\right)=\frac{17}{14}$.

Hiển thị đáp án

Vì a, b là các góc nhọn nên cos a > 0, cos b > 0.

Ta có $\cos a=\sqrt{1-{\sin }^{2}a}=\frac{15}{17}\Rightarrow \tan a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{8}{15}$;

          $\cos b=\sqrt{\frac{1}{1+{\tan }^{2}b}}=\frac{12}{13}\Rightarrow \sin b=\cos b\tan b=\frac{5}{13}$.

Khi đó, $\sin \left(a-b\right)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$ = $\frac{8}{17}\cdot \frac{12}{13}-\frac{15}{17}\cdot \frac{5}{13}=\frac{21}{221}$;

            $\cos \left(a+b\right)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ = $\frac{15}{17}\cdot \frac{12}{13}-\frac{8}{17}\cdot \frac{5}{13}=\frac{140}{221}$;

            $\tan \left(a+b\right)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}=\frac{\frac{8}{15}+\frac{5}{12}}{1-\frac{8}{15}\cdot \frac{5}{12}}=\frac{171}{140}$.

Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1. Cho các góc $\alpha ,\beta$ thỏa mãn $\frac{\pi }{2}<\alpha ,\beta <\pi , \sin \alpha =\frac{1}{3},\cos \beta =-\frac{2}{3}$.

Biết $\sin \left(\alpha +\beta \right)=-\frac{a\left(1+\sqrt{10}\right)}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và b > 0. Tính a + b.

Hiển thị đáp án

Do $\frac{\pi }{2}<\alpha ,\beta <\pi \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\cos \alpha <0\\ \sin \beta >0\end{array}\right.$.

Ta có $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$; $\sin \beta =\sqrt{1-{\cos }^2\beta }=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$.

Suy ra $\sin \left(\alpha +\beta \right)=\sin \alpha \cdot \cos \beta +\cos \alpha \cdot \sin \beta$ = $\frac{1}{3}\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)+\left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)\cdot \frac{\sqrt{5}}{3}=-\frac{2+2\sqrt{10}}{9}$.

Suy ra $\sin \left(\alpha +\beta \right)=-\frac{2+2\sqrt{10}}{9}=-\frac{2\left(1+\sqrt{10}\right)}{9}$.

Vậy a + b = 2 + 9 = 11.

Đáp án: 11.

Câu 2. Cho hai góc nhọn a và b với $\tan a=\frac{1}{7}$ và $\tan b=\frac{3}{4}$. Biết a + b = n°. Giá trị n bằng bao nhiêu?

Hiển thị đáp án

Ta có $\tan \left(a+b\right)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}=\frac{\frac{1}{7}+\frac{3}{4}}{1-\frac{1}{7}\cdot \frac{3}{4}}=1$, suy ra a + b = 45°.

Vậy n = 45.

Đáp án: 45.

TRẮC NGHIỆM ONLINE

Xem thêm bài tập trắc nghiệm Toán lớp 11 Cánh diều có đáp án hay khác:

• Trắc nghiệm Toán 11 Bài 3: Hàm số lượng giác và đồ thị

• Trắc nghiệm Toán 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

• Trắc nghiệm Toán 11 Bài tập cuối chương 1

• Trắc nghiệm Toán 11 Bài 1: Dãy số

• Trắc nghiệm Toán 11 Bài 2: Cấp số cộng

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
• Giải SBT Toán 11 Cánh diều
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---