13 Bài tập Phương trình lượng giác cơ bản (có đáp án) - Cánh diều Trắc nghiệm Toán 11

Với 13 bài tập trắc nghiệm Phương trình lượng giác cơ bản Toán lớp 11 có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ sách Cánh diều sẽ giúp học sinh ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 11.

13 Bài tập Phương trình lượng giác cơ bản (có đáp án) - Cánh diều Trắc nghiệm Toán 11

TRẮC NGHIỆM ONLINE

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN

Câu 1. Nghiệm của phương trình $\sin 2x=1$ là

A. $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

B. $x=\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

C. $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

D. $x=\frac{k\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: 

$\sin 2x=1\iff 2x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x = m  có nghiệm.

A. $m\le 1.$

B. $m\ge 1.$

C. $-1\le m\le 1$.

D. $m\le -1$

 

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Với mọi $x\in ℝ$, ta luôn có $-1\le \sin x\le 1$.

Do đó, phương trình $\sin x=m$ có nghiệm khi và chỉ khi $-1\le m\le 1$

Câu 3. Nghiệm của phương trình $\cot x+\sqrt{3}=0$ là:

A. $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

B. $x=\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

C. $x=-\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

D. $x=-\frac{\pi }{3}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

$\cot x+\sqrt{3}=0\iff \cot x=-\sqrt{3}\iff x=-\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Câu 4. Tập nghiệm của phương trình $\sin 2x=\sin x$ là

A. $S=\left\{k2\text{π};\frac{\text{π}}{3}+k2\text{π}\left|k\in \mathbb{Z}\right.\right\}$ .                             

B. $S=\left\{k2\text{π};\frac{\text{π}}{3}+\frac{k2\text{π}}{3}\left|k\in \mathbb{Z}\right.\right\}$ .

C. $S=\left\{k2\text{π};-\frac{\text{π}}{3}+k2\text{π}\left|k\in \mathbb{Z}\right.\right\}$.                             

D. $S=\left\{k2\text{π};\text{π}+k2\text{π}\left|k\in \mathbb{Z}\right.\right\}$.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có 

$\sin 2x=\sin x$ $\iff \left[\begin{array}{l}2x=x+k2\text{π}\\ 2x=\text{π}-x+k2\text{π}\end{array}\right.$ $\iff \left[\begin{array}{l}x=k2\text{π}\\ x=\frac{\text{π}}{3}+\frac{k2\text{π}}{3}\end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Câu 5. Phương trình$\sin 2x=\cos x$ có nghiệm là

A. $\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}\\ x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.                                     

B. $\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}\\ x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

C. $\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.                                     

D. $\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+\frac{k2\pi }{3}\\ x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

$\sin 2x=\cos x\iff \sin 2x=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}\\ x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Câu 6. Giải phương trình $\sqrt{\text{3}}\tan 2x-3=0$.

A. $x=\frac{\pi }{3}+k\frac{\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

B. $x=\frac{\pi }{3}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

C. $x=\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

D. $x=\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

$\sqrt{\text{3}}\tan 2x-3=0\iff \tan 2x=\sqrt{3}$ $\iff 2x=\frac{\pi }{3}+k\pi$ $\iff x=\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Câu 7. Phương trình lượng giác $3\cot x-\sqrt{3}=0$ có nghiệm là:

A. $x=\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

B. $x=\frac{\pi }{3}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

C. $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

D. Vô nghiệm.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có 

$3\cot x-\sqrt{3}=0\iff \cot x=\frac{\sqrt{3}}{3}\iff \cot x=\cot \left(\frac{\pi }{3}\right)\iff x=\frac{\pi }{3}+k\pi ,$ $\left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Câu 8. Phương trình lượng giác $\cos 3x=\cos 12°$ có nghiệm là

A. $x=\pm \frac{\pi }{15}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.                                 

B. $x=\pm \frac{\pi }{45}+\frac{k2\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.    

C. $x=\frac{-\pi }{45}+\frac{k2\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.                          

D. $x=\frac{\pi }{45}+\frac{k2\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

$\cos 3x=\cos 12°\iff \cos 3x=\cos \frac{\pi }{15}$

$\iff 3x=\pm \frac{\pi }{15}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff x=\pm \frac{\pi }{45}+\frac{k2\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Câu 9. Giải phương trình lượng giác $2\cos \frac{x}{2}+\sqrt{3}=0$ có nghiệm là:

A. $x=\pm \frac{5\pi }{3}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.                                 

B. $x=\pm \frac{5\pi }{6}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.    

C. $x=\pm \frac{5\pi }{6}+k4\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.                                 

D. $x=\pm \frac{5\pi }{3}+k4\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: D

$2\cos \frac{x}{2}+\sqrt{3}=0\iff \cos \frac{x}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\iff \frac{x}{2}=\pm \frac{5\pi }{6}+k2\pi \iff x=\pm \frac{5\pi }{3}+k4\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Câu 10. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $\cos x-m=0$ vô nghiệm.

A. $m\in \left(-\infty ;-1\right)\cup \left(1;+\infty \right)$.

B. $m\in \left(1;+\infty \right)$.

C. $m\in \left[-1;1\right]$.

D. $m\in \left(-\infty ;-1\right)$.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình $\cos x=a$.

-Phương trình có nghiệm khi $\left|a\right|\le 1$.

-Phương trình vô nghiệm khi $\left|a\right|>1$.

Phương trình $\cos x-m=0\iff \cos x=m$.

Do đó, phương trình $\cos x=m$ vô nghiệm $\iff \left|m\right|>1\iff \left[\begin{array}{l}m<-1\\ m>1\end{array}\right.$.

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI

Câu hỏi. Cho phương trình $2\sin \left(x-\frac{\pi }{12}\right)+\sqrt{3}=0$.

a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình $\sin \left(x-\frac{\pi }{12}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)$.

b) Phương trình đã cho có nghiệm là: $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi ;x=\frac{7\pi }{12}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

c) Phương trình đã cho có nghiệm âm lớn nhất bằng $-\frac{\pi }{4}$.

d) Số nghiệm của phương trình đã cho trong khoảng $\left(-\pi ;\pi \right)$ là hai nghiệm.

Hiển thị đáp án

Ta có: $2\sin \left(x-\frac{\pi }{12}\right)+\sqrt{3}=0$ ⇔ $\sin \left(x-\frac{\pi }{12}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ⇔ $\sin \left(x-\frac{\pi }{12}\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)$

⇔ $\left[\begin{array}{l}x-\frac{\pi }{12}=-\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ x-\frac{\pi }{12}=\pi -\left(-\frac{\pi }{3}\right)+k2\pi \end{array}\iff \left[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x=\frac{17\pi }{12}+k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)\right.\right.$

Vậy phương trình có nghiệm là: $x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi$; $\hspace{0.17em}x=\frac{17\pi }{12}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng $-\frac{\pi }{4}$.

Số nghiệm của phương trình trong khoảng $\left(-\pi ;\pi \right)$ là hai nghiệm.

Đáp án: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1. Hằng ngày, mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h(m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t(h) được cho bởi công thức $h=3\sin \left(\frac{\pi t}{4}+\frac{\pi }{3}\right)+14$. Thời gian ngắn nhất để mực nước của kênh cao nhất là $t=\frac{a}{b}$. Tính a.b?

Hiển thị đáp án

Vì $-1\le \sin \left(\frac{\pi t}{4}+\frac{\pi }{3}\right)\le 1$ => $11\le h\le 17$.

Do đó max h = 17 ⇔ $\sin \left(\frac{\pi t}{4}+\frac{\pi }{3}\right)=1$ ⇔ $\frac{\pi t}{4}+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+k2\pi$ ⇔ $\frac{\pi t}{4}=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ ⇔ $t=\frac{2}{3}+6k,k\in \mathbb{Z}$.

Thời gian ngắn nhất để mực nước của kênh cao nhất $t=\frac{2}{3}\left(h\right)$.

Vậy a.b = 2.3 = 6.

Đáp án: 6.

Câu 2. Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ t (ở đây t là số ngày tính từ ngày 1 tháng 1) của năm 2024 được cho bởi hàm số $f\left(t\right)=12+\mathrm{2,83}\sin \left(\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right)$, $t\in {\mathbb{N}}^{*}$ và $0<t\le 366$. Hỏi vào ngày nào trong tháng 6 thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất?

Hiển thị đáp án

Ta có $-1\le \sin \left(\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right)\le 1$ ⇔ $\mathrm{9,17}\le 12+\mathrm{2,83}\sin \left(\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right)\le \mathrm{14,83}$.

Như vậy có thể thấy số giờ có ánh sáng mặt trời nhiều nhất là 14,83 (giờ) và xảy ra khi

$\sin \left(\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right)=1$ ⇔ $\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ ⇔ t - 80 = 91 + 366k ⇔ t = 171 + 366k

Vì $0<t\le 366$ nên $0<171+366k\le 366$ $\iff -\frac{171}{366}<k\le \frac{195}{366}$ => k = 0 vì k ∈ ℤ.

Với k = 0 => t = 171.

Có thể thấy năm 2024 là năm nhuận, nên với t = 171 thì ngày có số giờ ánh sáng mặt trời nhiều nhất là ngày 19 tháng 6.

Đáp án: 19.

TRẮC NGHIỆM ONLINE

Xem thêm bài tập trắc nghiệm Toán lớp 11 Cánh diều có đáp án hay khác:

• Trắc nghiệm Toán 11 Bài tập cuối chương 1

• Trắc nghiệm Toán 11 Bài 1: Dãy số

• Trắc nghiệm Toán 11 Bài 2: Cấp số cộng

• Trắc nghiệm Toán 11 Bài 3: Cấp số nhân

• Trắc nghiệm Toán 11 Bài tập cuối chương 2

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
• Giải SBT Toán 11 Cánh diều
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---