Phương pháp giải bất phương trình mũ (cực hay)

---

---

Bài viết Phương pháp giải bất phương trình mũ với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Phương pháp giải bất phương trình mũ.

Phương pháp giải bất phương trình mũ (cực hay)

Bài giảng: Cách giải bất phương trình mũ - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng a^x > b (hoặc a^x ≥ b, a^x < b, a^x ≤ b) với a > 0, a ≠ 1.

Ta xét bất phương trình có dạng a^x > b.

    • Nếu b ≤ 0, tập nghiệm của bất phương trình là R, vì a^x > b, ∀x ∈ R..

    • Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với a^x > a^log_ab.

Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là x > log_a b.

Với 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là x < log_a b.

Ta minh họa bằng đồ thị sau:

    • Với a > 1, ta có đồ thị sau.

    • Với 0 < a < 1, ta có đồ thị sau.

Lưu ý:

1. Dạng 1:

2. Dạng 2:

3. Dạng 3: a^f(x) > b(*)

4. Dạng 4: a^f(x) < b(**)

Lưu ý: Khi giải bất phương trình mũ, ta cần chú ý đến tính đơn điệu của hàm số mũ.

Tương tự với bất phương trình dạng:

Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:

Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ:

    + Đưa về cùng cơ số.

    + Đặt ẩn phụ.

    + Sử dụng tính đơn điệu:

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải bất phương trình sau

Lời giải:

Bài 2: Giải bất phương trình sau 9^x-1-36.3^x-3+3 ≤ 0

Lời giải:

Biến đổi bất phương trình (1) ta được

(1) ⇔ (3^x-1)²-4.3^x-1+3 ≤ 0 (2)

Đặt t = 3^x-1 (t > 0), bất phương trình (2) trở thành t²-4t+3 ≤ 0 (3)

(3) ⇔ 1 ≤ t ≤ 3

Suy ra: 1 ≤ 3^x-1 ≤ 3 ⇔ 0 ≤ x-1 ≤ 1 ⇔ 1 ≤ x ≤ 2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = [1;2]

Bài 3: Giải bất phương trình sau

Lời giải:

Vì x²+1/2 > 0 nên ta có các trường hợp sau

Vậy nghiệm của bất phương trình là:

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Giải bất phương trình sau:

Lời giải:

Ta có (√10+3)(√10-3)=1 ⇒ √10-3 = (√10+3)^-1

Bất phương trình cho

Bài 2: Giải bất phương trình sau:

Lời giải:

Ta có: 7+4√3 = (2+√3)² và (2-√3)(2+√3) = 1 nên đặt

t = (2+√3)^x, t > 0 ta có bất phương trình:

t²-3/t+2 ≤ 0 ⇔ t³+2t-3 ≤ 0 ⇔ (t-1)(t²+t+3) ≤ 0 ⇔ t ≤ 1

⇔ (2+√3)^x ≤ 1 ⇔ x ≤ 0.

Vậy, bất phương trình cho có nghiệm là x ≤ 0

Bài 3: Giải bất phương trình sau:

Lời giải:

Bài 4: Giải bất phương trình sau:

Lời giải:

Ta có 2^x + 4.5^x - 4 < 10^x ⇔ 2^x - 10^x + 4.5^x-4 < 0 ⇔ 2^x (1-5^x) - 4(1-5^x) < 0 ⇔ (1-5^x)(2^x-4) < 0

Bài 5: Giải bất phương trình sau:

Lời giải:

Bài 6: Giải bất phương trình sau:

Lời giải:

Bài 7: Giải bất phương trình sau:

Lời giải:

Vậy bất phương trình cho có nghiệm là -1/4 ≤ x ≤ 0 hoặc x ≥ 2

Bài 8: Với giá trị nào của tham số m thì phương trình (m+1)16^x-2(2m-3) 4^x+6m+5=0 có hai nghiệm trái dấu.

Lời giải:

Đặt 4^x = t > 0. Phương trình đã cho trở thành:

Yêu cầu bài toán ⇔ (*) có hai nghiệm t₁, t₂ thỏa mãn 0 < t₁ < 1 < t₂

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Giải phương trình: ${\left(\frac{2}{5}\right)}^{4x}\le {\left(\frac{5}{2}\right)}^{2-x}$.

Bài 2. Giải phương trình: ${\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}^{x^2+1}\le {\left(5+2\sqrt{6}\right)}^{2x+1}$.

Bài 3. Giải phương trình: $5^{x^2-1}<4$.

Bài 4. Giải phương trình: $2^{-x^2+3x}<4$.

Bài 5. Giải phương trình: ${\left(\frac{7}{9}\right)}^{2x^2-3x}\ge \frac{9}{7}$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Dạng 1: Phương pháp giải bất phương trình mũ
• Trắc nghiệm Phương pháp đưa về cùng cơ số và phương pháp lôgarit hóa
• Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ trong phương trình mũ
• Trắc nghiệm phương pháp đặt ẩn phụ trong phương trình mũ
• Dạng 3: Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình mũ
• Trắc nghiệm Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình mũ

---

---

---