Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với đường thẳng

Bài viết Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với đường thẳng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với đường thẳng.

Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với đường thẳng

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

+ Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ

+ Đường thẳng d song song với đường thẳng Δ nên đường thẳng d nhận vecto u_d→ =  u_Δ→làm vecto chỉ phương .

+ Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và có VTCP là u_d→

Chú ý: Các trường hợp đặc biệt.

+ Nếu đường thẳng d song song với trục Ox thì có VTCP là

+ Nếu đường thẳng d song song với trục Oy thì có VTCP là

+ Nếu đường thẳng d song song với trục Oz thì có VTCP là

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng d biết d đi qua A (1; 2; 3) và song song với . Tìm mệnh đề sai

A. Một vecto chỉ phương của đường thẳng d là

B. Vậy phương trình tham số của d là:

C. Phương trình chính tắc của d là:

D. đường thẳng d không có phương trình chính tắc

Lời giải:

Vì đường thẳng d // d’ nên vectơ chỉ phương của d là:

Vậy phương trình tham số của d là:

Phương trình chính tắc của d là:

Chọn D.

Ví dụ 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d biết d đi qua A (0; 2; -1) và song song với . Tìm mệnh đề sai ?

A. Điểm M(2; 8; - 3) thuộc đường thẳng d.

B. Phương trình tham số của đường thẳng d :

C. Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) : x+ 3y- z+ 10= 0

D. Phương trình chính tắc của đường thẳng d:

Lời giải:

Vì đường thẳng d // d’ nên vectơ chỉ phương của d là:

Vậy phương trình tham số của d là:

Cho t= 2 ta được điểm M ( 2; 8; -3) thuộc đường thẳng d

Phương trình chính tắc của d là:

Mặt phẳng (P): x+ 3y – z+ 10= 0 có vecto pháp tuyến

=> Vecto chỉ phương của đường thẳng d là vecto pháp tuyến của măt phẳng (P)

=> đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).

=> C sai

Chọn C.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho tam giác ABC với A(0; 1;2 ); B( -2; 1;2); C ( -3; 2; 1). Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với BC là

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Gọi d là đường thẳng cẩn tìm.

Đường thẳng BC đi qua B và C nên nhận vecto làm vecto chỉ phương.

Vì d song song với BC nên d có vectơ chỉ phương

=> Phương trình tham số của đường thẳng d:

Chọn A

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M( 2; -4; 1) và song song với trục hoành là.

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Gọi d là đường thẳng cẩn tìm.

Trục hoành có vecto chỉ phương

Vì d song song với trục hoành nên d có vectơ chỉ phương u→ =

Đường thẳng d đi qua M (2; -4; 1) và có vectơ chỉ phương u→

Vậy phương trình tham số của d là

Chọn C.

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng . Phương trình chính tắc của đường thẳng Δ đi qua điểm A(-2; - 3; -1) và song song với d là

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương

Vì Δ song song với d nên Δ có vectơ chỉ phương u→ =

Đường thẳng Δ đi qua điểm A(-2; -3; -1) và có vectơ chỉ phương u→ 

Vậy phương trình chính tắc của Δ là :

Chọn D.

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng . Phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm M( -2; 3; 0) và song song với d là

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương

Vì Δ song song với d nên Δ có vectơ chỉ phương u→ =

Đường thẳng Δ qua điểm M(-2; 3; 0) và có vectơ chỉ phương u→ 

Vậy phương trình tham số của Δ là

Chọn A.

Ví dụ 7. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua H(0; 3; 1) song song với đường thẳng AB. Biết A( -1; 3; 2) và B( 0; 2; 1). Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d.

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Đường thẳng AB đi qua A và B nên nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ Đường thẳng d song song với AB nên đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

=>Phương trình chính tắc của đường thẳng d:

Chọn B.

Ví dụ 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho điểm A( 1; 2; 3) và B( 3; 4; 5). Gọi M là trung điểm AB. VIết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M và song song với đường thẳng Δ:

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Do M là trung điểm của AB nên tọa đọ điêm M là:

+ Đường thẳng Δ có vecto chỉ phương

+ Do đường thẳng d song song với đường thẳng Δ nên đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình tham số của đường thẳng d:

Chọn A.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng d biết d đi qua A (-1; -2; 4) và song song với . Tìm mệnh đề sai

A. điểm H( 1; -2; 2) thuộc đường thẳng d.

B. Vậy phương trình tham số của d là:

C. Phương trình chính tắc của d là:

D. đường thẳng d không có phương trình chính tắc

Lời giải:

Vì đường thẳng d // d’ nên vectơ chỉ phương của d là:

Vậy phương trình tham số của d là:

Câu 2:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d biết d đi qua A (- 2; 3; -4) và song song với . Tìm mệnh đề sai ?

A. Điểm M(2; - 3; 4) thuộc đường thẳng d.

B. Phương trình tham số của đường thẳng d :

C. Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) : 2x- 3y + 4 z+ 1= 0

D. Phương trình chính tắc của đường thẳng d:

Lời giải:

Vì đường thẳng d // d’ nên vectơ chỉ phương của d là:

Vậy phương trình tham số của d là:

Cho t= - 2 ta được điểm M ( 2; - 3; 4) thuộc đường thẳng d

Phương trình chính tắc của dlà:

Mặt phẳng (P): 2x- 3y + 4z+ 1= 0 có vecto pháp tuyến

=> Vecto chỉ phương của đường thẳng d cùng phương với vecto pháp tuyến của măt phẳng (P)

=> đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).

=> C sai

Chọn C.

Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho tam giác ABC với A(-1; 2; 3 ); B( 0; -1; 2); C (0; 0;1). Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với BC là

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Gọi d là đường thẳng cẩn tìm.

Đường thẳng BC đi qua B và C nên nhận vecto làm vecto chỉ phương.

Vì d song song với BC nên d có vectơ chỉ phương

=> Phương trình tham số của đường thẳng d:

Chọn D.

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M( 2; 0; 3) và song song với trục tung là.

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Gọi d là đường thẳng cẩn tìm.

Trục tung có vecto chỉ phương

Vì d song song với trục tung nên d có vectơ chỉ phương u→ =

Đường thẳng d đi qua M (2; 0; 3) và có vectơ chỉ phương u→

Vậy phương trình tham số của d là

Chọn C.

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 2x+ y- 3z+ 2= 0. Phương trình chính tắc của đường thẳng Δ đi qua điểm A(1; 2; -1) và song song với d là

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến .

Do đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên đường thẳng d có vectơ chỉ phương

Vì Δ song song với d nên Δ có vectơ chỉ phương u→ =

Đường thẳng Δ đi qua điểm A(1; 2; -1) và có vectơ chỉ phương u→ 

Vậy phương trình chính tắc của Δ là

Chọn D

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua hai điểm A( -1; 2; 0) và B( -2; 1; 1). Phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm M(0; 2; 1) và song song với d là

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương

Vì Δ song song với d nên Δ có vectơ chỉ phương u→ =

Đường thẳng Δ qua điểm M(0; 2; 1) và có vectơ chỉ phương u→ 

Vậy phương trình tham số của Δ là

Chọn A.

Câu 7:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho tam giác ABC có A( 1; -2; 3); B( 2; -1; 0) và C( 0; 5; 4). Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d qua B và song song với đường trung tuyến AM.

A.

B.

C.

D.Đường thẳng d không có phương trình chính tắc .

Lời giải:

+ M là trung điểm của BC nên tọa độ M( 1; 2; 2).

+ Đường thẳng AM đi qua A và M nên nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ Đường thẳng d song song với AM nên đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

Đường thẳng d không có phương trình chính tắc .

Chọn D.

Câu 8:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho tam giác ABC có A(-2; 0;1); B(1; 0;0) và C( 1; 3; 5). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua G và song song với đường thẳng Δ:

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên tọa độ điểm G là:

+ Đường thẳng Δ có vecto chỉ phương

+ Do đường thẳng d song song với đường thẳng Δ nên đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình tham số của đường thẳng d:

Chọn A.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M(-1; 4; 1) và song song với đường thẳng: $\frac{x-3}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{3}$.

Bài 2. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A(3;5;7) và song song với d: $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$.

Bài 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d biết d đi qua M(1;2;3) và song song với đường thẳng ∆: $\left\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=2-2t\\ z=1-t\end{array}\right.$.

Bài 4. Viết phương đường thẳng d đi qua A(2;1;-3) và song song với đường thẳng: $\frac{x}{2}=\frac{y}{4}=\frac{z}{1}$.

Bài 5. Viết phương đường thẳng d đi qua A(1;2;-3) và song song với trục Oz.

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Các công thức về đường thẳng, phương trình đường thẳng trong không gian
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có vecto chỉ phương u
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với mặt phẳng
• Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng

---