Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và cắt hai đường thẳng

Bài viết Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và cắt hai đường thẳng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và cắt hai đường thẳng.

Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và cắt hai đường thẳng

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

Cách 1:

Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và chứa đường thẳng d1

Bước 2: Tìm giao điểm A = (α)∩d₂

Bước 3: Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm M, A

Cách 2:

Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và chứa đường thẳng d1

Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng (β) đi qua điểm M và chứa đường thẳng d2

Bước 3: Đường thẳng cần tìm d = (α)∩(β)

Cách 3:

Gọi A, B lần lượt là giao điểm của d và d₁, d và d₂

Đường thẳng d đi qua M nên A, B, M thẳng hàng

=> cùng phương =>

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Cho đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A(0; 2; -4) và cắt hai đường thẳng d₁ và d₂

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Lời giải:

+ Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và chứa d₁

Đường thẳng d₁ qua B( 2 ; 1 ; -1) và có vecto chỉ phương

Ta có :

Mặt phẳng (P) có một vecto phap tuyến là :

+ Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A và chứa d₂

Đường thẳng d₂ qua C( -1; 3; -2) và có vecto chỉ phương

Ta có:

Mặt phẳng (Q) có một vecto phap tuyến là :

+ Khi đó đường thẳng Δ cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q)

=> Một vecto chỉ phương của đường thẳng Δ là:

Do vậy phương trình Δ là:

Chọn A.

Ví dụ 2 : Phương trình đường thẳng Δ đi qua và cắt cả hai đường thẳng là :

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và đi qua điểm A.

Đường thẳng d đi qua điểm B( 1;0 ;3) và có vecto chỉ phương

Ta có :

Mặt phẳng (P) có một vecto pháp tuyến là :

+ Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A và chứa d’

Đường thẳng d’ qua C( 0; -1; 2) và có vecto chỉ phương

Ta có:

Mặt phẳng (Q) có một vecto phap tuyến là :

+ Đường thẳng Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) nên đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương là và đi qua A nên có phương trình tham số là:

Chọn D.

Ví dụ 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M (1; 1; 0) và cắt hai đường thẳng:

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Lời giải:

Cách 1:

- Một điểm thuộc d₁ là : A (1; 0; 0)

=>

Mặt phẳng (α) đi qua điểm M và chứa đường thẳng d₁ có vectơ pháp tuyến là

=>

Phương trình mặt phẳng (α) là: 0.(x – 1) + 0. (y – 1) + 1. (z – 0) = 0 hay z = 0

- Giao điểm B = (α)∩d₂ là (0; 0; 0)

- Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm M, B

Vectơ chỉ phương của d là:

Vậy phương trình đường thẳng d là:

Cách 2:

- Tương tự cách 1: Phương trình mặt phẳng (α) là: z = 0

- Một điểm thuộc d₂ là : A (0; 0; 0)

=>

Mặt phẳng (β) đi qua điểm M và chứa đường thẳng d₂ có vectơ pháp tuyến là

=>

Phương trình mặt phẳng (β) là: (-1) .(x – 1) + 1. (y – 1) + 0. (z – 0) = 0 hay –x + y = 0

- Đường thẳng cần tìm d = (α)∩(β)

Vectơ chỉ phương của d là

=>

Vậy phương trình đường thẳng d là:

Cách 3:

Gọi A là giao điểm của d và d₁ => A(1+t_1;-t_1;0)

Gọi B là giao điểm của d và d₂ => B(0;0;2+t_2 )

=>

theo đề bài => cùng phương

=>

=>

=> là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d

Vậy phương trình đường thẳng d là:

Ví dụ 4: Viết phương trình đường thẳng d biết d đi qua điểm A (1; 2; 3) và cắt hai đường thẳng

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

- đường thẳng d1 có vecto chỉ phương . Một điểm M thuộc d₁ là M (0; -1; 2)

=>

Mặt phẳng (α) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d₁ có vectơ pháp tuyến là

=>

- Đường thẳng d₂ có vecto chỉ phương . Một điểm thuộc d₂ là N (0; -2; 0)

=>

Mặt phẳng (β) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d₂ có vectơ pháp tuyến là

=>

- Đường thẳng cần tìm d = (α)∩(β)

Vectơ chỉ phương của d là

=>

Vậy phương trình đường thẳng d là:

Chọn B.

Ví dụ 5: Viết phương trình đường thẳng d biết d đi qua điểm M (3; 3; -2) và cắt hai đường thẳng

A.

B.

C:

D.Đáp án khác

Lời giải:

-Đường thẳng d₁ có vecto chỉ phương . Một điểm thuộc d1 là : A (1; 2; 0)

=>

Mặt phẳng (α) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1 có vectơ pháp tuyến là

=>

Phương trình mặt phẳng (α) là: 7.(x – 1) – 4 . (y – 2) + 5. (z – 0) = 0 hay 7x – 4y + 5z + 1 = 0

- Giao điểm B = (α)∩d₂ là ( -1; 1; 2)

- Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm M, B

Vectơ chỉ phương của d là: (BM) ⃗=(4;2; -4) hay chọn vectơ chỉ phương của d là:

Vậy phương trình đường thẳng d là:

Chọn C.

Ví dụ 6 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ; cho điểm I(1 ;1 ;2) hai đường thẳng . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và cắt hai đường thẳng d₁ ; d₂ là.

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và chứa d₁

Đường thẳng d₁ đi qua M₁( 3 ; -1 ; 4) và có vectơ chỉ phương

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến:

Gọi (Q) là mặt phẳng qua I và chứa d₂

Đường thẳng d₂ đi qua M₂( -2 ; 0 ;2) và có vectơ chỉ phương

Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến

Đường thẳng d đi qua điểm I(1;1; 2) và có vectơ chỉ phương:

Vậy phương trình đường thẳng d là

Chọn D.

Ví dụ 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A(1; 1; -2), đường thẳng và mặt phẳng . Đường thẳng Δ cắt d và (α) lần lượt tại M; N sao cho A là trung điểm của MN có phương trình là

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Ta có .

Do A( 1; 1; -2) là trung điểm của MN nên tọa độ N( 1- 2t; t+ 3; - 4- 3t) .

Mặt khác

Khi đó Δ đi qua A(1; 1; -2) và

Chọn D.

Ví du 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A( 1; 3; 2); B ( 3; 3; 0) và đường thẳng . Gọi M là trung điểm của AB. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua H (1;1;1) và cắt hai đường thẳng d và OM?

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Tọa độ trung điểm của AB là: M(2; 3; 1)

Gọi (P) là mặt phẳng qua H và chứa d

Đường thẳng d đi qua M₁ (0 ; -2 ;1) có vectơ chỉ phương

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến:

Gọi (Q) là mặt phẳng qua H và chứa OM

Đường thẳng OM đi qua O (0; 0 ; 0) và có vectơ chỉ phương

Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến

Đường thẳng Δ đi qua điểm H(1;1; 1) và có vectơ chỉ phương:

Vậy phương trình đường thẳng d là

Chọn D.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Cho đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A( 1; 2;0) và cắt hai đường thẳng d₁ và d₂

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Lời giải:

+ Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và chứa d₁

Đường thẳng d1 qua B(0 ; -1 ;1) và có vecto chỉ phương

Ta có :

Mặt phẳng (P) có một vecto phap tuyến là :

+ Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A và chứa d₂

Đường thẳng d₂ qua C( 1; -2; 0) và có vecto chỉ phương

Ta có:

Mặt phẳng (Q) có một vecto phap tuyến là :

+ Khi đó đường thẳng Δ cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).

=> Một vecto chỉ phương của đường thẳng Δ là:

Do vậy phương trình Δ là:

Chọn A.

Câu 2:

Phương trình đường thẳng Δ đi qua A( -1 ; 0 ; 0) và cắt cả hai đường thẳng là :

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và đi qua điểm A.

Đường thẳng d đi qua điểm B(0 ; 2 ; 1) và có vecto chỉ phương

Ta có :

Mặt phẳng (P) có một vecto pháp tuyến là :

+ Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A và chứa d’

Đường thẳng d’ qua C( 1;1; -1) và có vecto chỉ phương

Ta có:

Mặt phẳng (Q) có một vecto phap tuyến là :

+ Đường thẳng Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) nên đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương là và đi qua A nên có phương trình tham số là:

Chọn D.

Câu 3:

Viết phương trình đường thẳng d đi qua M ( 3; 3; 3) và cắt hai đường thẳng:

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Lời giải:

- Một điểm thuộc d₁ là : A (0; -2; 2)

=>

Mặt phẳng (α) đi qua điểm M và chứa đường thẳng d1 có vectơ pháp tuyến là

=>

Phương trình mặt phẳng (α) là: -3.(x – 3) + 1. (y – 3) + 4. (z – 3) = 0 hay – 3x + y+ 4z – 6= 0

- Giao điểm B = (α)∩d2 là ( t; t; 2) thay vào phương trình (α )ta được : - 3t + t+ 4.2 – 6= 0 ⇔ - 2t + 2= 0 ⇔ t= 1 => B( 1; 1; 2)

- Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm M, B

Vectơ chỉ phương của d là:

Vậy phương trình đường thẳng d là:

Chọn A

Câu 4:

Viết phương trình đường thẳng d biết d đi qua điểm A (2; 1; 0) và cắt hai đường thẳng

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

- đường thẳng d₁ có vecto chỉ phương . Một điểm M thuộc d1 là M ( 1; -1; 2)

=>

Mặt phẳng (α) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d₁ có vectơ pháp tuyến là

=>

- Đường thẳng d₂ có vecto chỉ phương . Một điểm thuộc d₂ là N ( 4; -2; 3)

=>

Mặt phẳng (β) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d2 có vectơ pháp tuyến là

=>

- Đường thẳng cần tìm d = (α)∩(β)

Vectơ chỉ phương của d là chọn ( 3; -6; -1)

Vậy phương trình đường thẳng d là:

Chọn B.

Câu 5:

Viết phương trình đường thẳng d biết d đi qua điểm M (2;1;1) và cắt hai đường thẳng

A.

B.

C:

D.Đáp án khác

Lời giải:

-Đường thẳng d1 có vecto chỉ phương . Một điểm thuộc d1 là : A (1; 0; 1)

=>

Mặt phẳng (α) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1 có vectơ pháp tuyến là

Phương trình mặt phẳng (α) là: 1.(x – 2) – 1 . (y – 1) + 0. (z – 1) = 0 hay x- y- 1= 0

- Giao điểm B = (α)∩d2 là ( - t; 1+ 2t; 2+ t) thay tọa độ B vào phương trình (α) ta được - t- 1- 2t- 1= 0 ⇔ - 3t – 2= 0 nên

- Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm M, B

Vectơ chỉ phương của d là: hay chọn vectơ chỉ phương của d là:

Vậy phương trình đường thẳng d là:

Chọn D.

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ; cho điểm O(0; 0; 0) hai đường thẳng . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và cắt hai đường thẳng d₁ ; d₂ là.

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Gọi (P) là mặt phẳng qua O và chứa d1

Đường thẳng d1 đi qua M₁(1 ; -2 ; 3) và có vectơ chỉ phương

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến:

Gọi (Q) là mặt phẳng qua O và chứa d₂

Đường thẳng d₂ đi qua M₂(1 ; -1 ; 2) và có vectơ chỉ phương .

Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến

Đường thẳng d đi qua điểm O(0; 0;0) và có vectơ chỉ phương:

Vậy phương trình đường thẳng d là

Chọn B.

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A( 2; 1; 3) , đường thẳng và mặt phẳng (α): 2x+ 3y- z+ 1= 0. Đường thẳng Δ cắt d và (α) lần lượt tại M; N sao cho A là trung điểm của MN có phương trình là

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Ta có .

Do A(2; 1; 3) là trung điểm của MN nên tọa độ N(2- t; 2- t; 5- 2t)

Mặt khác ⇔ 4-2t+ 6 – 3t- 5 + 2t + 1= 0 ⇔ - 3t + 6= 0 ⇔ t=2⇒M( 4;2;5)

Khi đó Δ đi qua A(2; 1; 3) và nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> PHương trình tham số của đường thẳng Δ:

Chọn A.

Câu 8:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A(0; 1; 0); B ( 2; 1; 4) và đường thẳng .Gọi M là trung điểm của AB. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua H (2; 1; - 1) và cắt hai đường thẳng d và OM?

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Tọa độ trung điểm của AB là: M( 1; 1; 2)

Gọi (P) là mặt phẳng qua H và chứa d

Đường thẳng d đi qua M1 (0 ; 3 ; 1) có vectơ chỉ phương

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến:

Gọi (Q) là mặt phẳng qua H và chứa OM

Đường thẳng OM đi qua O (0; 0 ; 0) và có vectơ chỉ phương

Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến

Đường thẳng Δ đi qua điểm H(2; 1; -1) và có vectơ chỉ phương:

Vậy phương trình đường thẳng d là

Chọn D.

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, song song với mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng, đi qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với 2 đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2

---