Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với 2 đường thẳng

Bài viết Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với 2 đường thẳng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với 2 đường thẳng.

Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với 2 đường thẳng

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

+ Gọi u_d→ ; u_d1→  và  u_d2→ lần lượt là vecto chỉ phương của đườg thẳng d; d₁ và d₂

+ Do đường thẳng d vuông góc với cả hai đường thẳng d₁ và d₂ nên:

+ Mà d₁ và d₂ chéo nhau

=>Véc tơ chỉ phương của d là

Sau đó, áp dụng định nghĩa phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A (2; -1; 1) và vuông góc với hai đường thẳng lần lượt có vectơ chỉ phương là

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

Do đường thẳng d vuông góc với 2 đường thẳng lần lượt có vecto chỉ phương là u₁→ ; u₂→ nên một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là

d đi qua điểm A (2; -1; 1)

Vậy phương trình đường thẳng d là

Chọn A.

Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A (1; 2; 3) và vuông góc với hai đường thẳng

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Lời giải:

+ Vecto chỉ phương của hai đường thẳng d1; d2 lần lượt là:

+ Do đường thẳng d vuông góc với 2 đường thẳng lần lượt có vecto chỉ phương là u₁→ ; u₂→  nên một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là

hay chọn vectơ chỉ phương là (-1; -1; 1)

Mà d đi qua điểm A (1; 2; 3) nên phương trình đường thẳng d là

Chọn C

Ví dụ 3 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz : cho hai điểm A(1 ;-1 ;1) ; B(-1 ; 2 ; 3) và đường thẳng . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, đồng thời vuông góc với hai đường thẳn AB và Δ là

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Ta có:

Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương

Do đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng AB và Δ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là: chọn vecto ( 7;2; 4)

Vậy phương trình chính tắc của d là:

Chọn B.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A(0;2; 0) và vuông góc với hai đường thẳng d₁; d₂ là

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Lời giải:

Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương

Đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương

Do đường thẳng Δ vuông góc với hai đường thẳng d₁; d₂ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng Δ là:

Vậy phương trình tham số của Δ là:

Chọn C.

Ví dụ 5:= Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng . Phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A(1;1;3) vuông góc với trục Oz và d là

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

Đường thẳng Oz có vectơ chỉ phương

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương

Do đường thẳng Δ vuông góc với trục Oz và d nên một vecto chỉ phương của Δ là:

.

Đường thẳng Δ đi qua điểm A(1;1; 3) và có vectơ chỉ phương là ( 1; -1;0)

Vậy phương trình của Δ là:

Chọn A.

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và điểm A( -1; 2; 3). Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua M( 0; 2; 3) vuông góc với đường thẳng d và đường thẳng OA?,

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương

Đường thẳng OA đi nhận vecto làm vecto chỉ phương.

+ Do đường thẳng Δ vuông góc với đường thẳng d và OA nên đường thẳng Δ có một vecto chỉ phương là:

=> Phương trình đường thẳng Δ là:

Chọn C.

Ví dụ 7: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz; cho bốn điểm A( 1; 2; 3); B( -2; 1;3); C( 0; 1; 2) và D( -1; -1; 1). Đường thẳng d đi qua M( -1; 2; -4) đồng thời vuông góc với cả hai đường thẳng AB và CD. Phương trình tham số của đường thẳng d có dạng : . Tính a+ b?

A. 2

B. – 3

C. 1

D. - 4

Lời giải:

+ Đường thẳng AB có vecto chỉ phương là:

+ Đường thẳng CD có vecto chỉ phương là:

+ Do đường thẳng d vuông góc với đường thẳng AB và CD nên đường thẳng d có một vecto chỉ phương là:

=> Phương trình tham số của đường thẳng d là : .

=> a= -3 và b= 5 nên a+ b= 2

Chọn A.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Viết phương trình đường thẳng d đi qua A (1; 2; -1) và vuông góc với hai đường thẳng lần lượt có vectơ chỉ phương là

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

Do đường thẳng d vuông góc với 2 đường thẳng lần lượt có vecto chỉ phương là u₁→ ;u₂→ nên một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là

d đi qua điểm A ( 1; 2; -1)

Vậy phương trình đường thẳng d là

Chọn A.

Câu 2:

Viết phương trình đường thẳng d đi qua A (-1; 3; 1) và vuông góc với hai đường thẳng

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Lời giải:

+ Vecto chỉ phương của hai đường thẳng d1; d2 lần lượt là:

+ Do đường thẳng d vuông góc với 2 đường thẳng lần lượt có vecto chỉ phương là u₁→ ;u₂→  nên một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là

Mà d đi qua điểm A ( -1; 3; 1) nên phương trình đường thẳng d là

Chọn A

Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz : cho hai điểm A(-2 ; 3 ; 1) ; B(0 ; 4 ; 2) và đường thẳng . Phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm A, đồng thời vuông góc với hai đường thẳng AB và Δ là

A.

B.

C.

D. Không có phương trình chính tắc

Lời giải:

Đường thẳng AB nhận vecto làm vecto chỉ phương.

Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương

Do đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng AB và Δ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là: chọn vecto ( 0; 1; -1)

Suy ra đường thẳng d khong có phương trình chính tắc.

Chọn D.

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A( -2; 1; 3) và vuông góc với hai đường thẳng d₁; d₂ là

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Lời giải:

Đường thẳng d₁ có vectơ chỉ phương

Đường thẳng d₂ có vectơ chỉ phương

Do đường thẳng Δ vuông góc với hai đường thẳng d1 và d2 nên một vecto chỉ phương của đường thẳng Δ là:

Vậy phương trình tham số của Δ là:

Chọn C.

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng . Phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A(1;1;1) vuông góc với trục Ox và d là

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

Đường thẳng Ox có vectơ chỉ phương

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương .

Do đường thẳng Δ vuông góc với trục Ox và d nên một vecto chỉ phương của Δ là

.

Đường thẳng Δ đi qua điểm A(1;1; 1) và có vectơ chỉ phương là (0; 1; -1)

Vậy phương trình của Δ là:

Chọn D.

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A(1; 2; 1); B( - 3; 4; 1) và C( 2; 1; 0). Gọi M là trung điểm của AB. Cho đường thẳng d có vecto chỉ phương . Gọi Δ là đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng d và CM. Tìm một vecto chỉ phương của đường thẳng Δ?

A. ( 1; 2; 1)

B. ( 1; -2; 1)

C. ( 2; 3; -6)

D. ( 4; 8; -4)

Lời giải:

+ Do M là trung điểm của AB nên tọa độ của M là:

+ Đường thẳng CM có vecto chỉ phương là:

+ Do đường thẳng Δ vuông góc với đường thẳng d và CM nên đường thẳng Δ có một vecto chỉ phương là:

Chọn D

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và điểm A( 0; 2; 4). Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua M( 0; 1; 2) vuông góc với đường thẳng d và đường thẳng OA?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương

Đường thẳng OA đi nhận vecto làm vecto chỉ phương.

+ Do đường thẳng Δ vuông góc với đường thẳng d và OA nên đường thẳng Δ có một vecto chỉ phương là:

=> Phương trình đường thẳng Δ là:

Chọn C.

Câu 8:

Trong không gian hệ tọa độ Oxyz; cho bốn điểm A(2; 0; 1); B(0;2; 0); C(2; 1; 1) và D( -1; -1; 1). Đường thẳng d đi qua M( 1;2; 0) đồng thời vuông góc với cả hai đường thẳng AB và CD. Phương trình tham số của đường thẳng d có dạng : . Tính a.b?

A. -10

B. 20

C. 10

D. -20

Lời giải:

+ Đường thẳng AB có vecto chỉ phương là:

+ Đường thẳng CD có vecto chỉ phương là:

+ Do đường thẳng d vuông góc với đường thẳng AB và CD nên đường thẳng d có một vecto chỉ phương là:

=> Phương trình tham số của đường thẳng d là : .

=> a= -2 và b= 10 nên a.b= -20

Chọn D.

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, song song với mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng, đi qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và cắt hai đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2

---