Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với mặt phẳng cho trước lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với mặt phẳng cho trước lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với mặt phẳng cho trước.

Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với mặt phẳng cho trước lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Viết phương trình đường thẳng $∆$ đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0.

Bước 1: Đường thẳng $∆$ nhận $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right)$ làm vectơ chỉ phương.

Bước 2: Viết phương trình đường thẳng $∆$ đi qua M và nhận $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right)$ làm vectơ chỉ phương.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(−1; 3; 2) và mặt phẳng (P): x – 2y + 4z + 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P).

Hướng dẫn giải:

Có $\overrightarrow{n_P}=\left(1;-2;4\right)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Đường thẳng D đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P) nhận $\overrightarrow{n_P}=\left(1;-2;4\right)$ làm vectơ chỉ phương nên có phương trình $\frac{x+1}{1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z-2}{4}$.

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1; 0; 2), B(1; 2; 1), C(3; 2; 0) và D(1; 1; 3). Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (BCD).

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (BCD) nhận vectơ pháp tuyến của (BCD) là vectơ chỉ phương.

Ta có $\overrightarrow{BC}=\left(2;0;-1\right),\overrightarrow{BD}=\left(0;-1;2\right)$.

Ta có $\overrightarrow{u_d}=\overrightarrow{n_{\left(BCD\right)}}=\left[\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD}\right]=\left(-1;-4;-2\right)$.

Phương trình đường thẳng d có phương trình $\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=-4t\\ z=2-2t\end{array}\right.$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; −2; 3) và mặt phẳng (P): 2x – y + 3z + 1 = 0. Phương trình của đường thẳng đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P) là

A. $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-2-t\\ z=3+3t\end{array}\right.$;

B. $\left\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=2-t\\ z=-3+3t\end{array}\right.$;

C. $\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=-1-2t\\ z=3+3t\end{array}\right.$;

D. $\left\{\begin{array}{l}x=1-2t\\ y=-2-t\\ z=3-3t\end{array}\right.$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng cần tìm đi qua M(1; −2; 3), vuông góc với (P) nên nhận $\overrightarrow{n_P}=\left(2;-1;3\right)$ là vectơ chỉ phương.

Phương trình đường thẳng cần tìm là $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-2-t\\ z=3+3t\end{array}\right.$.

Bài 2. Trong không gian Oxyz, cho M(1; 2; −3) và mặt phẳng (P): 2x – y + 3z – 1 = 0. Phương trình của đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với (P) là

A. $\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=-1+2t\\ z=3-3t\end{array}\right.$;

B. $\left\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=-2-t\\ z=3+3t\end{array}\right.$;

C. $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2-t\\ z=-3+3t\end{array}\right.$;

D. $\left\{\begin{array}{l}x=1-2t\\ y=2-t\\ z=-3-3t\end{array}\right.$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng đi qua điểm M(1; 2; −3) và nhận $\overrightarrow{n_P}=\left(2;-1;3\right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2-t\\ z=-3+3t\end{array}\right.$.

Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; −2; 2) và mặt phẳng (P): 2x + y – 3z + 1 = 0. Phương trình của đường thẳng qua M và vuông góc với mặt phẳng (P) là:

A. $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-2+t\\ z=2-3t\end{array}\right.$;

B. $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=-2-2t\\ z=2+t\end{array}\right.$;

C. $\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1-2t\\ z=-3+2t\end{array}\right.$;

D. $\left\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=2+t\\ z=-2-3t\end{array}\right.$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng đi qua M(1; −2; 2) nhận $\overrightarrow{n_P}=\left(2;1;-3\right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-2+t\\ z=2-3t\end{array}\right.$.

Bài 4. Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua A(2; 3; 0) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + 3y – z + 5 = 0.

A. $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1+3t\\ z=1-t\end{array}\right.$;

B. $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=3t\\ z=1-t\end{array}\right.$;

C. $\left\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=1+3t\\ z=1-t\end{array}\right.$;

D. $\left\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=1+3t\\ z=1+t\end{array}\right.$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Vectơ chỉ phương của đường thẳng là $\overrightarrow{u}=\left(1;3;-1\right)$ nên suy ra chỉ có đáp án A hoặc B đúng. Thử tọa độ điểm A(2; 3; 0) vào ta thấy đáp án B thỏa mãn.

Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α): x – y + 2z = 1. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào vuông góc với (α).

A. $d_1:\frac{x}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z}{2}$;

B. $d_2:\frac{x}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{-1}$;

C. $d_3:\frac{x}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z}{-1}$;

D. $d_4:\left\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=0\\ z=-t\end{array}\right.$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow{n_{\alpha }}=\left(1;-1;2\right)=\overrightarrow{u_{d_1}}$. Do đó d₁ $\perp$ (α).

Bài 6. Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm A(1; 1; 1) và vuông góc với mặt phẳng tọa độ (Oxy) có phương trình tham số là:

A. $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1\\ z=1\end{array}\right.$;

B. $\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\\ z=1+t\end{array}\right.$;

C. $\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=1\\ z=1\end{array}\right.$;

D. $\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1+t\\ z=1\end{array}\right.$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng tọa độ (Oxy) nên nhận $\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)$ làm vectơ chỉ phương mà d đi qua A(1; 1; 1) nên đường thẳng d có phương trình $\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\\ z=1+t\end{array}\right.$.

Bài 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho (P): 2x – 5y + z – 1 = 0 và A(1; 2; −1). Đường thẳng $∆$ qua A và vuông góc với (P) có phương trình là:

A.$\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=-5+2t\\ z=1-t\end{array}\right.$;

B. $\left\{\begin{array}{l}x=3+2t\\ y=-3-5t\\ z=1+t\end{array}\right.$;

C. $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2-5t\\ z=1+t\end{array}\right.$;

D. $\left\{\begin{array}{l}x=3-2t\\ y=-3+5t\\ z=-t\end{array}\right.$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(2;-5;1\right)$.

Đường thẳng D vuông góc với (P) nên có một vectơ chỉ phương là$\overrightarrow{u}=-\overrightarrow{n}=\left(-2;5;-1\right)$ và đi qua A nên có phương trình $\left\{\begin{array}{l}x=1-2t\\ y=2+5t\\ z=-1-t\end{array}\right.$.

Cho t = −1 ta được điểm B(3; −3; 0) ∈ $∆$.

Vì thế $∆$ có phương trình $\left\{\begin{array}{l}x=3-2t\\ y=-3+5t\\ z=-t\end{array}\right.$.

Bài 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y + z + 3 = 0 và điểm A(1; −2; 1). Phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (P) là

A. $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-2-t\\ z=1+t\end{array}\right.$;

B. $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-2-4t\\ z=1+3t\end{array}\right.$;

C. $\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=-1-2t\\ z=1+t\end{array}\right.$;

D. $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-2-t\\ z=1+3t\end{array}\right.$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên nhận $\overrightarrow{n_P}=\left(2;-1;1\right)$ làm vectơ chỉ phương mà d đi qua A(1; −2; 1) nên có phương trình $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-2-t\\ z=1+t\end{array}\right.$.

Bài 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2; 1) và vuông góc với mặt phẳng (P): x – 2y – z – 1 = 0 có dạng:

A. $\frac{x+2}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{-1}$;

B. $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-1}{1}$;

C. $\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z+1}{-1}$;

D. $\frac{x-2}{2}=\frac{y}{-4}=\frac{z}{-2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;-2;-1\right)$.

Vì d $\perp$ (P) nên d có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{n}=\left(1;-2;-1\right)$. Suy ra chọn A, C, D.

Thay tọa độ điểm A vào các câu đã chọn, ta thấy câu D thỏa mãn yêu cầu.

Bài 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D đi qua điểm A(−2; 4; 3) và vuông góc với mặt phẳng (α): 2x – 3y + 6z + 19 = 0 có phương trình là

A. $\frac{x-2}{-2}=\frac{y+3}{4}=\frac{z-6}{3}$ ;

B. $\frac{x+2}{2}=\frac{y-4}{-3}=\frac{z-3}{6}$ ;

C. $\frac{x+2}{-2}=\frac{y-3}{4}=\frac{z+6}{3}$;

D. $\frac{x-2}{2}=\frac{y+4}{-3}=\frac{z+3}{6}$ .

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng $∆$ đi qua điểm A(−2; 4; 3) và vuông góc với mặt phẳng (α) nhận $\overrightarrow{n}=\left(2;-3;6\right)$   làm vectơ chỉ phương có phương trình là $\frac{x+2}{2}=\frac{y-4}{-3}=\frac{z-3}{6}$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
• Xác định phương trình đường thẳng khi biết yếu tố song song
• Vị trí tương đối của hai đường thẳng
• Vận dụng phương trình đường thẳng vào giải quyết bài toán liên quan đến thực tế
• Góc giữa hai đường thẳng
• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

---