Hai vectơ bằng nhau trong không gian là gì lớp 12 (chi tiết nhất)

Bài viết Hai vectơ bằng nhau trong không gian là gì lớp 12 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Hai vectơ bằng nhau trong không gian.

Hai vectơ bằng nhau trong không gian là gì lớp 12 (chi tiết nhất)

1. Hai vectơ bằng nhau trong không gian

Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ được gọi là bằng nhau, kí hiệu $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$, nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

Chú ý: Các vectơ-không đều bằng nhau.

2. Ví dụ minh họa về hai vectơ bằng nhau trong không gian

Ví dụ 1. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’.

Trong các vectơ $\overrightarrow{BB\text{'}},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{C\text{'}B\text{'}},\overrightarrow{B\text{'}C\text{'}}$, vectơ nào bằng $\overrightarrow{BC}$? Giải thích.

Hướng dẫn giải

Vì $\overrightarrow{BB\text{'}}$ và $\overrightarrow{BC}$ không cùng phương nên hai vectơ $\overrightarrow{BB\text{'}}$ và $\overrightarrow{BC}$ không bằng nhau.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên BC // AD và BC = AD. Do đó, hai vectơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ có cùng phương và cùng độ dài. Do đó, $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$.

Vì BCC’B’ là hình chữ nhật nên BC // B’C’ và BC = B’C’. Do đó, hai vectơ $\overrightarrow{B\text{'}C\text{'}}$ và $\overrightarrow{BC}$ có cùng hướng và cùng độ dài. Do đó, $\overrightarrow{B\text{'}C\text{'}}=\overrightarrow{AD}$.

Hai hai vectơ $\overrightarrow{C\text{'}B\text{'}}$ và $\overrightarrow{BC}$ ngược hướng nên $\overrightarrow{C\text{'}B\text{'}}$ và $\overrightarrow{BC}$ không bằng nhau.

Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, M’ lần lượt là trung điểm của BC và B’C’. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{A\text{'}M\text{'}}$.

Hướng dẫn giải

Vì BCC’B’ là hình bình hành, M, M’ lần lượt là trung điểm của BC và B’C’ nên MM’ // BB’ và MM’ = BB’. Mà BB’ // AA’ và BB’ = AA’ nên MM’ // AA’, MM’ = AA’. Do đó, tứ giác AMM’A’ là hình bình hành.

Suy ra AM = A’M’ và AM // A’M’. Do đó, hai vectơ $\overrightarrow{AM},\overrightarrow{A\text{'}M\text{'}}$ có cùng độ dài và cùng hướng. Suy ra $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{A\text{'}M\text{'}}$.

Ví dụ 3. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng $\overrightarrow{MO}=\overrightarrow{ON}$.

Hướng dẫn giải

Vì O là tâm của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC và O là trung điểm của BD.

Tam giác ADB có: M, O lần lượt là trung điểm của AB và BD nên MO là đường trung bình của tam giác ABD. Do đó, MO // AD và $MO=\frac{AD}{2}$.

Tam giác ADC có: N, O lần lượt là trung điểm của CD và AC nên NO là đường trung bình của tam giác ACD. Do đó, NO // AD và $NO=\frac{AD}{2}$.

Vì MO // AD, NO // AD nên 3 điểm O, M, N thẳng hàng. Do đó, $\overrightarrow{MO},\overrightarrow{ON}$ cùng hướng (1). Vì NO = MO $\left(=\frac{AD}{2}\right)$ nên $\overrightarrow{MO},\overrightarrow{ON}$ có cùng độ dài (2).

Từ (1) và (2) ta có: $\overrightarrow{MO},\overrightarrow{ON}$.

3. Bài tập về hai vectơ bằng nhau trong không gian

Bài 1. Trong các phát biểu sau, có bao nhiêu phát biểu đúng?

a) Nếu hai vectơ bằng nhau thì hai vectơ đó có cùng hướng.

b) Nếu hai vectơ bằng nhau thì hai vectơ đó có cùng độ dài.

c) Nếu hai vectơ có độ dài bằng nhau thì hai vectơ đó bằng nhau.

d) Nếu hai vectơ có cùng hướng thì hai vectơ đó bằng nhau.

e) Nếu hai vectơ có cùng hướng và cùng độ dài thì hai vectơ đó bằng nhau.

Bài 2. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.

Trong các vectơ $\overrightarrow{AA\text{'}},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{A\text{'}D},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{A\text{'}D\text{'}}$, có bao nhiêu vectơ bằng $\overrightarrow{B\text{'}C\text{'}}$.

Bài 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của BC, CD, AD, BA. Chứng minh rằng $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP},\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{NP}$.

Bài 4. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có tam giác ABC cân tại B và tam giác A’B’C’ cân tại B’. Kẻ BH vuông góc với AC tại H. Tìm điểm H’ sao cho $\overrightarrow{HH\text{'}}=\overrightarrow{AA\text{'}}$.

Bài 5. Một tòa chung cư có chiều cao của các tầng là như nhau. Một chiếc thang máy di chuyển từ tầng 14 lền tầng 20 của tòa nhà, sau đó di chuyển từ tầng 21 lên tầng 27. Các vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy trong hai lần di chuyển đó có bằng nhau không? Giải thích.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 sách mới hay, chi tiết khác:

• Hai vectơ cùng phương trong không gian là gì

• Tổng của hai vectơ trong không gian

• Quy tắc hình hộp là gì

• Hiệu của hai vectơ trong không gian

• Hệ trục tọa độ trong không gian là gì

• Tọa độ của điểm trong không gian là gì

---