Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số (cực hay)

Bài viết Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số.

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số (cực hay)

Bài giảng: Cách tìm nguyên hàm, tích phân bằng phương pháp đổi biến - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao cho f[u(x)] xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f thì:

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của hàm số sau:

y = (2x + 3)⁵

Lời giải

Ta có:

Đặt u = 2x + 3; khi đó (*) trở thành:

Chọn A.

Ví dụ 2. Tính I = ∫(x² + 2x)(x + 1)dx

Lời giải

Ta có:

Đặt u = x² + 2x ta có:

Chọn C.

Ví dụ 3. Tính I = ∫x²(x³ - 4)⁶dx

Lời giải

Ta có:

Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của hàm số sau: y = (2x - 3x²)(x² - x³ + 2)⁵

Lời giải

Ta có: (2x - 3x²)(x² - x³ + 2)⁵.dx = (x² - x³ + 2)⁵(x² - x³ + 2)'.dx

= (x² - x³ + 2)⁵.d(x² - x³ + 2)

⇒ I = ∫(2x - 3x²)(x² - x³ + 2)⁵ dx = ∫(x² - x³ + 2)⁵.d(x² - x³ + 2) (*)

Đặt u = x² – x³ + 2; khi đó (*) trở thành:

Chọn A.

Ví dụ 5. Tính I = ∫(x³ + 3x)(x² + 1)dx

Lời giải

Ta có:

Đặt u = x³ + 3x ta có:

Chọn B.

Ví dụ 6. Tính I = ∫(x² - 2)(x³ - 6x)⁶dx

Lời giải

Ta có:

Đặt u = x³ - 6x ta được:

Chọn B.

Ví dụ 7. Tính I = ∫(x - 1)¹⁰dx

Lời giải

Ta có:

Chọn C.

Ví dụ 8. Tính I = ∫(x - 1)(x + 2)(2x + 1)dx

Lời giải

Ta có:

Chọn A.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tìm nguyên hàm của hàm số: y = (3x² - 2)²

Lời giải:

Ta có:

Chọn C.

Câu 2: Tìm nguyên hàm của hàm số: y = (3x - 2)³⁰⁰⁰

Lời giải:

Đặt t = 3x - 2 ⇒ dt = 3dx

Chọn A.

Câu 3: Tính nguyên hàm của hàm số y = (x² + 2x)(x³ + 3x² + 1)³⁰

Lời giải:

Đặt t = x³ + 3x² + 1 ⇒ dt = (3x² + 6x)dx

Chọn D.

Câu 4: Tính I = ∫x(x - 1)(2x³ - 3x² - 1)¹⁰ dx

Lời giải:

Đặt t = 2x³ - 3x² - 1

⇒ dt = 6x² - 6x = 6x(x - 1) dx

Chọn A.

Câu 5: Tính

Lời giải:

Ta có:

Đặt t = 1 - x suy ra dt = -dx

Chọn C.

Câu 6: Tính I = ∫x(x - 1)²⁰⁹dx

Lời giải:

Ta có: x(x - 1)²⁰⁹ = (x - 1).(x - 1)²⁰⁹ + 1.(x - 1)²⁰⁹ = (x - 1)²¹⁰ + (x - 1)²⁰⁹

⇒ I = ∫x(x - 1)²⁰⁹dx = ∫[(x - 1)²¹⁰ + (x - 1)²⁰⁹]dx

Đặt t = x - 1 ⇒ dt = dx

Chọn A.

Câu 7: Tính I = ∫x(2x - 2)¹⁰ dx

Lời giải:

Ta có:

Đặt t = 2x - 2 ⇒ dt = 2dx

Chọn B.

Bài giảng: Cách làm bài tập nguyên hàm và phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số cực nhanh - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Bảng công thức nguyên hàm đầy đủ
• Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức
• Nguyên hàm của hàm số mũ, hàm số logarit
• Nguyên hàm của hàm số lượng giác
• Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số
• Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp đổi biến số
• Tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác bằng phương pháp đổi biến số
• Tìm nguyên hàm của hàm chứa căn thức bằng phương pháp đổi biến số
• Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần
• Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần

---