Bài toán thực tế lớp 10 Hai phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài toán thực tế lớp 10 Hai phương trình quy về phương trình bậc hai có lời giải chương trình mới dùng chung cho ba sách Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo, Cánh diều với bài tập đa dạng giúp Giáo viên có thêm tài liệu giảng dạy các dạng toán thực tế lớp 10.

Bài toán thực tế lớp 10 Hai phương trình quy về phương trình bậc hai

Xem thử

Chỉ từ 300k mua trọn bộ Chuyên đề, các dạng Toán thực tế lớp 10 chương trình mới bản word trình bày đẹp mắt, chỉnh sửa dễ dàng:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

1. Giải phương trình dạng $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=\sqrt{d{x}^2+ex+f}$

Burớc 1: Bình phương hai vế của phương trình để được phương trình $a{x}^2+bx+c=d{x}^2+ex+f$

Burớc 2: Giải phương trình nhận được ở Bước 1.

Burớc 3: Thử lại các giá trị x tìm được ở Bước 2 có thoả mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.

2. Giải phương trình dạng $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=dx+e$

Burớc 1: Bình phương hai vế của phương trình để được phương trình $a{x}^2+bx+c={(dx+e)}^2$

Burớc 2: Giải phương trình nhận được ở Bước 1.

Burớc 3: Thử lại các giá trị x tìm được ở Bước 2 có thoả mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.

B. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Câu 1: Để leo lên một bức tường, bác Nam dùng một chiếc thang có chiều dài cao hơn bức tường đó 1m. Ban đầu, bác Nam đặt chiếc thang mà đầu trên của chiếc thang đó vừa chạm đúng vào mép trên bức tường (Hình a). Sau đó, bác Nam dịch chuyển chân thang vào gần chân tường thêm 0,5 m thì bác Nam nhận thấy thang tạo với mặt đất một góc ${60}^{°}$  (Hình b). Bức tường cao bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Lời giải

Gọi chiều cao bức tường DG là x(m) (x > 0)

Chiều dài chiếc thang là x + 1 (m)

Khoảng cách từ chân thang sau khi bác Nam điều chỉnh là:

$EG=\frac{DG}{\sqrt{3}}=\frac{x\sqrt{3}}{3}( m)$

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông ABC ta có:

$BC=\sqrt{{(x+1)}^2-x^2}( m)$

Bác Nam dịch chuyển chân thang vào gần chân tường thêm 0,5m  nên ta có:

$\sqrt{{(x+1)}^2-x^2}-0,5=\frac{x\sqrt{3}}{3}$

$\iff \sqrt{{(x+1)}^2-x^2}=\frac{x}{\sqrt{3}}+0,5$

$\iff \sqrt{2x+1}=\frac{x}{\sqrt{3}}+0,5(*)$

Ta có $\frac{x}{\sqrt{3}}+0,5\ge 0\iff \frac{x}{\sqrt{3}}\ge -\frac{1}{2}\iff x\ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$  (Luôn đúng do x > 0 )

Ta bình phương hai vế (*) ta được:

$2x+1={\left(\frac{x}{\sqrt{3}}+0,5\right)}^2$

$\iff 2x+1=\frac{x^2}{3}+\frac{x}{\sqrt{3}}+0,25$

$\iff \frac{x^2}{3}+\left(\frac{\sqrt{3}}{3}-2\right)x-\frac{3}{4}=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}\begin{array}{l}x\approx 4,7\left(tm\right)\\ x\approx -0,5\left(ktm\right)\end{array}\end{array}\right.$

Vậy chiều cao của bức tường là 4,7 m.

Câu 2: Một người đứng ở điểm A trên một bờ sông rộng 300 m, chèo thuyền đến vị trí D, sau đó chạy bộ đến vị trí B cách C một khoảng 800m như Hình. Vận tốc chèo thuyền là 6km/h, vận tốc chạy bộ là 10km/h và giả sử vận tốc dòng nước không đáng kể. Tính khoảng cách từ vị trí C đến D, biết tổng thời gian người đó chèo thuyền và chạy bộ từ A đến B là 7,2 phút.

Lời giải

Đổi $300 m=0,3 km,800 m=0,8 km$

7,2 phút = 0,12(h)

Gọi khoảng cách từ C đến D  là x(km) (0,8  > x > 0)

Khi đó, DB = 0,8 - x (km)

Theo định lý Py-ta-go ta có: $AD=\sqrt{A{C}^2+C{D}^2}$ $=\sqrt{0,3^2+{(0,8-x)}^2}( km)$

Thời gian đi từ A đến D là: $\frac{\sqrt{0,3^2+{(0,8-x)}^2}}{6}\left(h\right)$

Thời gian đi từ D  đến B là: $\frac{0,8-x}{10}\left(h\right)$

Tổng thời gian người đó chèo thuyền và chạy bộ từ A đến B là 7,2 phút nên ta có phương trình:

$\begin{array}{l}\frac{\sqrt{0,3^2+{(0,8-x)}^2}}{6}+\frac{0,8-x}{10}=0,12\\ \iff \sqrt{0,3^2+{(0,8-x)}^2}\cdot 5+3.(0,8-x)=0,12.30\\ \iff 5\cdot \sqrt{0,3^2+{(0,8-x)}^2}-3x-1,2=0\\ \iff 5\cdot \sqrt{0,3^2+{(0,8-x)}^2}=3x+1,2\\ \iff 25\cdot \left[0,3^2+{(0,8-x)}^2\right]={\left(3x + 1,2\right)}^2\\ \iff 25\cdot \left(x^2-1,6x+0,73\right)=9x^2+7,2x+1,44\\ \iff 16x^2-47,2x+16,81=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}\begin{array}{l}x=\frac{59+30\sqrt{2}}{40}>0,8\left(ktm\right)\\ x=\frac{59-30\sqrt{2}}{40}\approx 0,414\left(tm\right)\end{array}\end{array}\right.\end{array}$

Ta bình phương được do x > 0 $\Rightarrow$ 3x + 1,2 > 0

Vậy khoảng cách từ vị trí C đến D là 414m.

Câu 3: Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng cách AB = 4km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 7 km. Người canh hải đăng có thể chèo thuyền từ A đến vị trí M trên bờ biển với vận tốc 3km/h rồi đi bộ đến C với vận tốc 5km/h như Hình 35. Tính khoảng cách từ vị trí B đến M, biết thời gian người đó đi từ A đến C là 148 phút.

Câu 4: Hằng ngày bạn Hùng đều đón bạn Minh đi học tại một vị trí trên lề đường thẳng đến trường. Minh đứng tại vị trí A cách lề đường một khoảng 50m để chờ Hùng. Khi nhìn thấy Hùng đạp xe đến địa điểm B, cách mình một đoạn 200m thì Minh bắt đầu đi bộ ra lề đường để bắt kịp xe. Vận tốc đi bộ Minh là 5km/h, vận tốc xe đạp của Hùng là 15km/h. Hãy xác định vị trí C trên lề đường để hai bạn gặp nhau mà không bạn nào phải chờ người kia (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Câu 5: Để leo lên một bức tường, bác Dũng dùng một chiếc thang cao hơn bức tường đó 2m. Ban đầu, bác Dũng đặt chiếc thang mà đầu trên của chiếc thang đó vừa chạm đúng vào 60

mép trên của bức tường (Hình 21a). Sau đó, bác Dũng dịch chuyển chân thang vào gần chân bức tường thêm 1m thì bác Dũng nhận thấy thang tạo với mặt đất một góc ${45}^{°}$ (Hình 21b). Bức tường cao bao nhiêu mét?

Câu 6: Một người đi bộ xuất phát từ B trên một bờ sông (coi là đường thẳng) với vận tốc 6km/h để gặp một người chèo thuyền xuất phát cùng lúc từ vị trí A với vận tốc 3km/h. Nếu người chèo thuyền di chuyển theo đường vuông góc với bờ thì phải đi một khoảng cách AH = 300m và gặp người đi bộ tại địa điểm cách B một khoảng BH = 1400m. Tuy nhiên, nếu di chuyển theo cách đó thì hai người không tới cùng lúc. Để hai người đến cùng lúc thì mỗi người cùng di chuyển về vị trí C(Hình 22).

a) Tính khoảng cách CB.

b) Tính thời gian từ khi hai người xuất phát cho đến khi gặp nhau cùng lúc.

Câu 7: Người ta muốn thiết kế một vườn hoa hình chữ nhật nội tiếp trong một miếng đất hình tròn có đường kính bằng 50m (Hình 23). Xác định kích thước vườn hoa hình chữ nhật để tổng quãng đường đi xung quanh vườn hoa đó là 140m.

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm Chuyên đề Toán thực tế lớp 10 chương trình mới có lời giải hay khác:

• Bài toán thực tế lớp 10 Hàm số bậc hai

• Bài toán thực tế lớp 10 Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

• Bài toán thực tế lớp 10 Đường thẳng

• Bài toán thực tế lớp 10 Phương trình đường tròn

• Bài toán thực tế lớp 10 Ba đường Conic

• Bài toán thực tế lớp 10 Đại số tổ hợp

---