Bài toán thực tế lớp 10 Ba đường Conic

Bài toán thực tế lớp 10 Ba đường Conic có lời giải chương trình mới dùng chung cho ba sách Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo, Cánh diều với bài tập đa dạng giúp Giáo viên có thêm tài liệu giảng dạy các dạng toán thực tế lớp 10.

Bài toán thực tế lớp 10 Ba đường Conic

Xem thử

Chỉ từ 300k mua trọn bộ Chuyên đề, các dạng Toán thực tế lớp 10 chương trình mới bản word trình bày đẹp mắt, chỉnh sửa dễ dàng:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

1. Đường elip

a) Định nghĩa

Cho hai điểm $F_1,F_2$ cố định có khoảng cách $F_1{F}_2=2c(c>0)$.

Đường elip (còn gọi là elip) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho $M{F}_1+M{F}_2=2a$, trong đó a là số cho trước lớn hơn c.

Hai điểm $F_1$ và $F_2$ được gọi là hai tiêu điểm của elip.

b) Phương trình chính tắc

Khi chọn hệ trục toạ độ như Hình 12,

Phương trình chính tắc của đường elip (E)  là: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ trong đó a > b > 0

$F_1(-c;0),F_2(c;0)$ là hai tiêu điểm,$c^2=a^2-b^2$.

2. Đường hypebol

a) Định nghĩa

Cho hai điểm $F_1,F_2$ cố định có khoảng cách $F_1{F}_2=2c(c>0)$ .

Đường hypebol (còn gọi là hypebol) là tập hợp các điểm M  sao cho $\left|M{F}_1-M{F}_2\right|=2a$ , trong đó a là số dương cho trước nhỏ hơn c .

Hai điểm $F_1$ và $F_2$ được gọi là hai tiêu điểm của hypebol.

b) Phương trình chính tắc

Khi chọn hệ trục toạ độ như Hình 13,

Phương trình chính tắc của đường hypebol (H) là: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ trong đó a > b > 0

$F_1(-c;0),F_2(c;0)$là hai tiêu điểm, $c^2=a^2+b^2$ .

3. Đường parabol

a) Định nghĩa

Cho một điểm F cố định và một đường thẳng $∆$ cố định không đi qua F .

Đương parabol (còn gọi là parabol) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng cách đều F  và $∆$ .

Điểm F được gọi là tiêu điểm của parabol. Đường thẳng $∆$  được gọi là đường chuẩn của parabol.

b) Phương trình chính tắc

Khi chọn hệ trục toạ độ như Hình 14,

Phương trình chính tắc của đường parabol (P) là:$y^2=2px(p>0).$ $F\left(\frac{p}{2};0\right)$ là tiêu điểm, $x+\frac{p}{2}=0$ là phương trình đường chuẩn $∆$.

B. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Câu 1: Hình 15 mô phỏng mặt cắt ngang của một chiếc đèn có dạng parabol trong mặt phẳng toạ độ Oxy ( x và y tính bằng xăng-ti-mét).

Hình parabol có chiều rộng giữa hai mép vành là AB = 40cm và chiều sâu h = 30cm ( h bằng khoảng cách từ O đến AB). Bóng đèn nằm ở tiêu điểm S . Viết phương trình chính tắc của parabol đó.

Lời giải

Parabol có phương trình chính tắc là:

Vì AB = 40cm và h = 30cm nên A(30; 20).

Do A(30; 20) thuộc parabol nên ta có: ${20}^2=2p\cdot 30\Rightarrow p=\frac{20}{3}$ .

Vậy parabol có phương trình chính tắc là: $y^2=\frac{40}{3}x$ .

Câu 2: Một người kĩ sư thiết kế một đường hầm một chiều có mặt cắt là một nửa hình elip, chiều rộng của hầm là 12m, khoảng cách từ điểm cao nhất của elip so với mặt đường là 3m. Người kĩ sư này muốn đưa ra cảnh báo cho các loại xe có thể đi qua hầm. Biết rằng những loại xe tải có chiều cao 2,8m thì có chiều rộng không quá 3m. Hỏi chiếc xe tải có chiều cao 2,8m có thể đi qua hầm được không?

Lời giải

Phương trình chính tắc của (E) là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ , trong đó a> b > 0 . Do các điểm B(0; 3) và A(6; 0) thuộc (E) nên thay vào phương trình của (E) ta có b = 3  và a = 6 . Suy ra phương trình của (E) là $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1.$

Với những xe tải có chiều cao 2,8 m, chiều rộng của xe tải là 3 m, tương ứng với x = 1,5 . Thay vào phương trình của elip để ta tìm ra độ cao y của điểm M (có hoành độ bằng 1,5 thuộc (E)) so với trục Ox $y_M=3\cdot \sqrt{1-\frac{x_M^2}{16}}=3\cdot \sqrt{1-\frac{1,5^2}{16}}$$\approx 2,905>2,8.$ 

Kết luận: Ô tô tải có thể đi được qua hầm, tuy nhiên cần khuyến cáo ô tô phải đi vào chính giữa hầm.

Câu 3: Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một đường elip với tâm Trái Đất là một tiêu điểm. Độ dài trục lớn, độ dài trục nhỏ của quỹ đạo lần lượt là 768800km và 767640km. Tìm khoảng cách lớn nhất và bé nhất từ tâm của Trái Đất đến Mặt Trăng.

Câu 4: Một mái vòm nhà hát có mặt cắt là hình nửa elip. Cho biết khoảng cách giữa hai tiêu điểm là $F^{\text{'}}F=50 m$ và chiều dài của đường đi của một tia sáng từ F' đến mái vòm rồi phản chiếu về F là 100m. Viết phương trình chính tắc của elip đó.

Câu 5: Một tháp triển lãm có mặt cắt hình hypebol có phương trình $\frac{x^2}{{18}^2}-\frac{y^2}{{36}^2}=1$ . Cho biết chiều cao của tháp là 100m và khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol bằng khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tính bán kính nóc và bán kính đáy của tháp.

Câu 6: Cổng chào của một thành phố dạng hình parabol có chiều cao h = 25m và khoảng cách giữa hai chân cổng là d = 120m. Hãy viết phương trình parabol của cổng chào.

Câu 7: Để cắt một bảng hiệu quảng cáo hình elip có trục lớn là 1m và trục nhỏ là 0,6m từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước $1 m\times 0,6 m$ , người ta vẽ hình elip đó lên tấm ván ép như hướng dẫn sau:

Chuẩn bị:

- Hai cái đinh, một vòng dây kín không đàn hồi, bút chì.

Thực hiện:

- Xác định vị trí (hai tiêu điểm của elip) và ghim hai cái đinh lên hai điểm đó trên tấm ván.

- Quàng vòng dây qua hai chiếc đinh và kéo căng tại một điểm M nào đó. Tựa đầu bút chì vào trong vòng dây tại điểm M rồi di chuyển sao cho dây luôn luôn căng. Đầu bút chì vạch lên tấm bìa một đường mà ta gọi là đường elip. (Xem minh hoạ trong Hình 10).

Phải ghim hai cái đinh cách các mép tấm ván ép bao nhiêu và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu?

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm Chuyên đề Toán thực tế lớp 10 chương trình mới có lời giải hay khác:

• Bài toán thực tế lớp 10 Hai phương trình quy về phương trình bậc hai

• Bài toán thực tế lớp 10 Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

• Bài toán thực tế lớp 10 Đường thẳng

• Bài toán thực tế lớp 10 Phương trình đường tròn

• Bài toán thực tế lớp 10 Đại số tổ hợp

• Bài toán thực tế lớp 10 Xác suất

---